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--- r_atelier8 [2016/03/10 21:36]
zofia.taranu [2.2 Transformations des données de composition des communautés]
+++ r_atelier8 [2021/10/13 23:52]
lsherin
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-======= Ateliers R du CSBQ =======
+<WRAP group>
+<WRAP centeralign>
+<WRAP important>
+<wrap em> __AVIS IMPORTANT__ </wrap>
-[[http://qcbs.ca/fr/|{{:logo_text.png?nolink&500|}}]]
+<wrap em> Depuis l'automne 2021, ce wiki a été discontinué et n'est plus activement développé. </wrap>
-Cette série de [[r|10 ateliers]] guide les participants à travers les étapes requises afin de maîtriser le logiciel R pour une grande variété d’analyses statistiques pertinentes en recherche en biologie et en écologie. Ces ateliers en libre accès ont été créés par des membres du CSBQ à la fois pour les membres du CSBQ et pour la grande communauté d’utilisateurs de R.
+<wrap em> Tout le matériel mis à jour et les annonces pour la série d'ateliers R du CSBQ se trouvent maintenant sur le [[https://r.qcbs.ca/fr/workshops/r-workshop-08/|site web de la série d'ateliers R du CSBQ]]. Veuillez mettre à jour vos signets en conséquence afin d'éviter les documents périmés et/ou les liens brisés. </wrap>
-====== Atelier 8: Ordination ======
+<wrap em> Merci de votre compréhension, </wrap>
-Développé par : Bérenger Bourgeois, Xavier Giroux-Bougard, Amanda Winegardner, Emmanuelle Chrétien et Monica Granados.
+<wrap em> Vos coordonnateurs de la série d’ateliers R du CSBQ. </wrap>
-(Le R script est en parti issu de: Borcard, Gillet & Legendre (2011). //Numerical Ecology with R//. Springer New York).
-**Résumé:** Apprenez les bases des analyses multivariées : choisissez les mesures de distance et transformations appropriées pour réaliser des ordinations, et apprenez à effectuer des Analyses en Composantes Principales, des Analyses de Correspondance, des Analyses en Coordonnées Principales et des Positionnements Multidimensionnels Non-métriques, afin de trouver les patrons de diversité des communautés biologiques !
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP clear></WRAP>
-Lien vers la présentation Prezi associée : [[https://prezi.com/zzqqe4gcq80g/csbq-atelier-r-8/| Prezi]]
+======= Ateliers R du CSBQ =======
-**Téléchargez le script R et les données pour cet atelier:**
+[[http://qcbs.ca/fr/|{{:logo_text.png?nolink&500|}}]]
-  * [[http://qcbs.ca/wiki/_media/atelier8_ordination.r | script R]]
-  * [[http://qcbs.ca/wiki/_media/DoubsEnv.csv|DoubsEnv]]
-  * [[http://qcbs.ca/wiki/_media/DoubsSpe.csv|DoubsSpe]]
-  * [[http://qcbs.ca/wiki/_media/coldiss.R|Coldiss (fonction R)]]
-**Télechargez les paquets R pour cet atelier:**
+Cette série de [[r|10 ateliers]] guide les participants à travers les étapes requises afin de maîtriser le logiciel R pour une grande variété d’analyses statistiques pertinentes en recherche en biologie et en écologie. Ces ateliers en libre accès ont été créés par des membres du CSBQ à la fois pour les membres du CSBQ et pour la grande communauté d’utilisateurs de R.
-  * [[http://cran.r-project.org/web/packages/vegan/index.html|vegan]]
-  * [[http://cran.r-project.org/web/packages/gclus/index.html|gclus]]
-  * [[http://cran.r-project.org/web/packages/ape/index.html|ape]]
-<code rsplus | Chargez les paquets et les fonctions nécessaires>
+//Le contenu de cet atelier a été révisé par plusieurs membres du CSBQ. Si vous souhaitez y apporter des modifications, veuillez SVP contacter les coordonnateurs actuels de la série, listés sur la page d'accueil//
-install.packages("vegan")
-install.packages("gclus")
-install.packages("ape")
-library(vegan)
-library(gclus)
-library(ape)
-source(file.choose()) #coldiss.R
-</code>
-======Qu'est-ce que l'ordination?======
-L'ordination est un ensemble de méthodes pour décrire des échantillons dans de multiples dimensions (Clarke et Warwick 2011). Les méthodes d'ordination sont donc très utiles pour simplifier et interpréter des données multivariées. Les écologistes parlent souvent de "faire une PCA" face à des données multidimensionnelles complexes et désordonnées. Programmer des méthodes d'ordination à partir de R est relativement simple. L'interprétation des analyses d'ordination peut par contre être plus difficile, surtout si vous n'êtes pas sûr des questions biologiques que vous souhaitez explorer avec la méthode d'ordination que vous utilisez. Un examen attentif des objectifs de ces méthodes et de leur cadre d'application est nécessaire pour obtenir de bons résultats !
+<wrap em>AVIS IMPORTANT: MISES À JOUR MAJEURES</wrap>
-Lorsque vous utilisez une méthode d'ordination, un ensemble de variables est utilisé pour ordonner des échantillons (objets, sites, etc.) le long d'axes principaux représentant des combinaison de variables (Gotelli et Ellison 2004). L'ordination permet donc de réduire ou de simplifier les données en créant de nouveaux axes intégrant la majeure partie de la variation présentes dans les données. A titre d'exemple, un ensemble de données avec 24 variables peut être réduit à cinq composantes principales qui représentent les principaux gradients de variation entre les échantillons. Les méthodes d'ordination sans contrainte ne sont pas adaptées au test d'hypothèses biologiques, mais permettent l'analyse exploratoire des données. Voir ([[http://ordination.okstate.edu/|the Ordination Website]]) pour un aperçu des différents méthodes (en Anglais).
+**Mise à jour de mars 2021:** Ce wiki n'est plus activement développé ou mis à jour. Le matériel mis à jour pour la série d'ateliers R du CSBQ est maintenant hébergé sur [[https://github.com/QCBSRworkshops/workshop08|la page GitHub]] des ateliers R du CSBQ.
-======Introduction aux données======
+Le matériel disponible inclut;
+  - La [[https://qcbsrworkshops.github.io/workshop08/pres-fr/workshop08-pres-fr.html|présentation Rmarkdown]] pour cet atelier;
+  - Un [[https://qcbsrworkshops.github.io/workshop08/book-fr/workshop08-script-fr.R|script R]] qui suit la présentation - //*en construction*//.
+  - [[https://qcbsrworkshops.github.io/workshop08/book-fr/index.html|Le matériel écrit]] qui accompagne la présentation en format bookdown - //*en construction*//.
-Nous allons utiliser deux principaux ensembles de données dans la première partie de cet atelier. "DoubsSpe.csv" est une matrice de données d'abondance d'espèces de communautés de poissons dans laquelle la première colonne contient les noms des sites de 1 à 30 et les colonnes subséquentes correspondent aux différentes espèces de poissons. "DoubsEnv.csv" est une matrice de données environnementales pour les mêmes sites. La première colonne contient donc les noms des sites de 1 à 30 et les colonnes suivantes les mesures de 11 variables abiotiques. Notez que les données utilisées pour les analyses d'ordination sont généralement en  [[http://en.wikipedia.org/wiki/Wide_and_narrow_data|format long (en anglais)]].
+====== Atelier 8 : Modèles additifs généralisés ======
-<code rsplus | Chargez DoubsSpe et DoubsEnv>
+Développé par : Eric Pedersen et Zofia Taranu
-#Matrice d'abondances d'espèces: “DoubsSpe.csv”
-spe<- read.csv(file.choose(), row.names=1)
-spe<- spe[-8,] #Pas d'espèces dans le site 8, supprimer site 8.
-#Exécutez cette ligne une seule fois.
-#L'environnement: “DoubsEnv.csv”
+Révision par : Cédric Frenette Dussault
-env<- read.csv(file.choose(), row.names=1)
-env<- env[-8,] #Supprimer site 8 puisqu'on l'a retiré de la matrice d'abondances.
-#Exécutez cette ligne une seule fois.
-</code>
-======1. Exploration des données======
+**Résumé:** L'objectif de l'atelier d'aujourd'hui sera d'examiner ce que nous entendons par un modèle non-linéaire et comment les GAMs (modèles additifs généralisés) nous permettent de modéliser les relations non-linéaires. Nous examinerons également comment tracer et interpréter ces relations non-linéaires, comment ajouter des interactions, comment prendre en compte la non-indépendance des données (//e.g.// erreurs autocorrélées) et comment inclure des effets aléatoires en se basant sur les ateliers précédents. Enfin, nous allons brièvement aborder la mécanique derrière le fonctionnement des GAMs.
-=====1.1 Données sur les espèces=====
+**Lien vers la nouvelle [[https://qcbsrworkshops.github.io/workshop08/workshop08-fr/workshop08-fr.html|présentation Rmarkdown]]**
-Nous pouvons utiliser les fonctions de résumé R pour explorer les données "Spe" (données d'abondances de poissons) et découvrir les caractéristiques telles que les dimensions de la matrice, les noms des colonnes et les statistiques descriptives de ces colonnes (révision de l'atelier 2).
+Lien vers la présentation Prezi associée : [[https://prezi.com/ddkjfsxlr-za/| Prezi]]
-<code rsplus | Explorez DoubsSpe>
+Télécharger le script R et les données pour cette leçon:
-names(spe) # Les noms des colonnes
+  - [[http://qcbs.ca/wiki/_media/gam_e.r|Script]]
-dim(spe) # Le nombre de lignes et de colonnes.
+  - [[http://qcbs.ca/wiki/_media/other_dist.csv|Données]]
-str(spe) # La structure interne de la matrice.
-head(spe) # Les premières lignes.
-summary(spe) # Les statistiques descriptives.
-</code>
-Regardez la distribution des espèces.
+===== Objectifs de l'atelier =====
+  - Utiliser la librairie //mgcv// pour modéliser les relations non linéaires
+  - Évaluer la sortie d'un GAM afin de mieux comprendre nos données
+  - Utiliser des tests pour déterminer si nos relations correspondent à des modèles non linéaires ou linéaires
+  - Ajouter des interactions non linéaires entre les variables explicatives
+  - Comprendre l'idée d'une fonction de base (//basis function//) et la raison pour laquelle ça rend les GAMs si puissants !
+  - Comment modéliser la dépendance dans les données (autocorrélation, structure hiérarchique) en utilisant les GAMMs
+**Prérequis:** Expérience du logiciel R (assez pour être en mesure d'exécuter un script et d'examiner les données et les objets dans R) et une connaissance de base de la régression simple (vous devez savoir ce qu'on entend par une régression linéaire et une ANOVA).
-<code rsplus | La distribution des espèces (DoubsSpe)>
+===== 0. Le modèle linéaire ... et où il échoue =====
-(ab<-table(unlist(spe))) #Les parenthèses signifient que la sortie s'affiche immédiatement
-barplot(ab, las=1, xlab=”Abundance class”, ylab=”Frequency”, col=grey(5:0/5))
+Qu'est-ce qu'un modèle linéaire ? La régression linéaire est ce que la plupart des gens apprennent avant tout en statistiques et est parmi les méthodes les plus performantes. Elle nous permet de modéliser une variable réponse en fonction de facteurs prédictifs et d'une erreur résiduelle. Tel que vu dans l'atelier sur les [[http://qcbs.ca/wiki/r_atelier4|modèles linéaires]], la régression fait cependant quatre suppositions importantes :
-</code>
+  - l'erreur est distribuée normalement
+  - la variance des erreurs est constante
+  - chaque erreur est indépendante des autres (homoscédasticité)
+  - la réponse est linéaire: <m> {y} = {β_0} + {β_1}{x} </m>
-{{:spe_barplot.png?300|}}
+Il n'y a qu'une façon pour qu'un modèle linéaire soit correctement appliqué :
-Pouvez-vous voir qu'il y a une grande fréquence de zéros dans les données d'abondance ?
-Calculez le nombre d'absences.
+{{::graphic0.1.png?350|}}
-<code rsplus | Absences>
-sum(spe==0)
-</code>
-Regardez la proportion de zéros dans les données de la communauté de poissons.
+et pourtant tant de façons pour qu'il ne le soit pas :
-<code rsplus | Proportion de zéros>
-sum(spe==0)/(nrow(spe)*ncol(spe))
-</code>
-La proportion de zéros dans la matrice est de ~0.5
-Calculez le nombre de sites où chaque espèce est présente.
+{{::graphic0.2.png|}}
-<code rsplus | Nombre de sites où chaque espèce est présente>
-spe.pres<- colSums(spe>0) # Somme des sites où chaque espèce est présente.
-hist(spe.pres, main=”Cooccurrence des espèces”, las=1, xlab=”Fréquence”, breaks=seq(0,30, by=5), col=”grey”)
-</code>
-Le plus grand nombre d'espèces se retrouvent dans un nombre intermédiaire de sites.
-Calculez le nombre d'espèces présentes à chaque site. Ici, nous utilisons une façon simpliste de calculer la richesse en espèces. Dans certains cas, le nombre d'espèces présentes dans un site varie entre les sites car il peut y avoir une relation entre le nombre d'individus comptés (l'abondance) dans ce site et la richesse en espèces. [[http://cc.oulu.fi/~jarioksa/softhelp/vegan/html/diversity.html|richesse d'espèces raréfiée (en anglais)]] est souvent une mesure plus appropriée que la richesse totale. La fonction rarefy () de vegan peut être utilisée pour calculer la richesse raréfiée des espèces.
+Alors, comment résoudre ce problème ? Nous devons premièrement savoir ce que le modèle de régression cherche à faire :
+   * ajuster une ligne qui passe au milieu des données,
+   * faire cela sans sur-ajuster les données, c'est-à-dire en passant une ligne entre chaque point.
+Les modèles linéaires le font en trouvant la meilleure ligne droite qui passe à travers les données. En revanche, les modèles additifs font cela en ajustant une courbe à travers les données, mais tout en contrôlant le degré de courbure de la ligne //(plus d'information sur cela plus bas)//.
-<code rsplus | Richesse en espèces>
+===== 1. Introduction aux GAMs =====
-site.pres<- rowSums(spe>0) # Nombre d'espèces présentes dans chaque site
-hist(site.pres, main=”Richesse en espèces”, las=1, xlab=”Fréquence des sites”, ylab=”Nombre d'espèces”, breaks=seq(0,30, by=5), col=”grey”)
-</code>
-=====1.2 Données sur l'environnement=====
+Examinons un exemple. Premièrement, nous allons générer des données et les représenter graphiquement.
-Explorez les données environnementales pour détecter les colinéarités :
+<file rsplus | Générer et tracer des données>
+library(ggplot2)
+set.seed(10)
+n = 250
+x = runif(n,0,5)
+y_model = 3*x/(1+2*x)
+y_obs = rnorm(n,y_model,0.1)
+data_plot = qplot(x, y_obs) +
+            geom_line(aes(y=y_model)) +
+            theme_bw()
+print(data_plot)
+</file>
-<code rsplus | Exploration de DoubsEnv>
+{{::graphic1.1.jpg?350|}}
-names(env)
-dim(env)
-str(env)
-head(env)
-summary(env)
-pairs(env, main="Données environnementales" )
-</code>
-Dans ce cas, les données environnementales sont toutes dans des unités différentes et doivent donc être standardisées avant de calculer les mesures de distance utilisées pour effectuer la plupart des analyses d'ordination. La standardisation des données (11 variables) peut être effectuée en utilisant la fonction decostand () de vegan.
+Si nous modélisions cette relation par une régression linéaire, les résultats ne respecteraient pas les suppositions énumérées ci-dessus. Commençons par modéliser une régression en utilisant la méthode des moindres carrés en utilisant la fonction ''gam()'' de la librairie //mgcv// - donc en tant que modèle linéaire //(nous verrons plus bas comment utiliser cette fonction pour spécifier un terme non linéaire).//
-<code rsplus | Standardisation des données>
+<file rsplus | Modèle linéaire>
-env.z<-decostand(env, method="standardize")
+library(mgcv)
-apply(env.z, 2, mean) # Les données sont maintenant centrées (moyennes~0)...
+linear_model = gam(y_obs~x)
-apply(env.z, 2, sd)   # et réduites (écart-type=1)
+model_summary=summary(linear_model)
-</code>
+print(model_summary)
+data_plot = data_plot+
+             geom_line(colour="red",
+             aes(y=fitted(linear_model)))
+print(data_plot)
+</file>
-======2. Mesures d'association======
+Nous pouvons constater à partir du sommaire que notre modèle linéaire explique une grande partie de la variance (R<sup>2</sup><sub>(adj)</sub> =  0.639). Toutefois, les graphiques de diagnostic des résidus du modèle montrent que l'écart type ne suit pas une distribution normale et que la variance n'est pas homoscédastique. De plus, il reste un patron non-linéaire important. Essayons maintenant de résoudre ce problème en ajustant les données avec un terme non linéaire.
-L'algèbre matricielle est à la base des méthodes d'ordination. Une matrice est constituée de données (ex. valeurs mesurées) réparties en lignes et colonnes. Les analyses d'ordination sont effectuées sur des matrices d'association calculées à partir des matrices de données écologiques (telles que DoubsEnv ou DoubsSpe). La création d'une matrice d'association permet le calcul de similarité et de distance entre les objets ou les descripteurs (Legendre et Legendre 2012). Avant de se lancer dans des analyses d'ordination, il est important de passer du temps sur vos matrices de données. Explorer les mesures possibles d'association qui peuvent être générées à partir de vos données avant de faire une ordination peut vous aider à mieux comprendre quelles mesures de distance sont appropriées pour les méthodes d'ordination. Il peut être difficile de voir l'objectif de chaque indice de dissimilarité, mais cette connaissance sera nécessaire pour mieux comprendre les méthodes d'ordination canoniques présentées par la suite.
+Nous reviendrons sur ceci un peu plus tard, mais brièvement, les GAMs sont une forme non paramétrique de la régression où le <m>beta</m>*x<sub>i</sub> d'une régression linéaire est remplacé par une fonction de lissage des variables explicatives, f (x<sub>i</sub>), et le modèle devient :
-EN RÉSUMÉ: Pour l'ordination d'objets, il faut calculer les distances entre eux. Ces distances peuvent être calculées de plusieurs façons, en prenant en compte l'abondance ou les données de présence / absence. Plus important encore, plusieurs propriétés sont de grande importance pour les mesures de distances, et elles seront explorées dans les exemples ci-dessous. Pour plus d'informations sur les propriétés des mesures de distance et certains termes clés, cliquez sur la section cachée.
+<m>{y_i} = f(x_{i}) + {ε_i}</m>
-<hidden>
+où y<sub>i</sub> est la variable réponse, x<sub>i</sub> est la covariable, et //f// est la fonction lissage.
-**Termes clés:**
-**Association -** «Terme général pour décrire toute mesure ou coefficient servant à quantifier la ressemblance ou différence entre les objets ou les descripteurs. Dans une analyse entre descripteurs, zéro signifie l'absence d'association.» (Legendre et Legendre 2012).
+Étant donné que la fonction de lissage f(x<sub>i</sub>) est non linéaire et locale, l'ampleur de l'effet de la variable explicative peut varier en fonction de la relation entre la variable et la réponse. Autrement dit, contrairement à un coefficient fixe <m>beta</m>, la fonction //f// peut changer tout au long du gradient x<sub>i</sub>. Le degré de lissage de //f// est contrôlée en utilisant une régression pénalisée qui est déterminée automatiquement à l'aide d'une méthode de validation croisée généralisée (GCV) de la librairie //mgcv// (Wood 2006).
-**Similarité -** une mesure dont «le maximum (S = 1) est atteint lorsque deux objets sont identiques et le minimum lorsque deux objets sont complètement différents.» (Legendre et Legendre 2012).
+Avec ''gam()'' les termes non linéaires sont spécifiés par des expressions de la forme: ''s(x)''.
-**Distance (aussi «dissimilarité») -** une mesure dont «le maximum (D=1) est atteint lorsque deux objects sont complètement différent.» (Legendre et Legendre 2012). Distance ou dissimilarité (D) = 1-S
+<file rsplus | GAM>
+gam_model = gam(y_obs~s(x))
+summary(gam_model)
+data_plot = data_plot +
+     geom_line(colour="blue",aes(y=fitted(gam_model)))
+print(data_plot)
+</file>
-Le choix d'une mesure d'association dépend de vos données, mais aussi de ce que vous en savez d'un point de vue écologique. Par exemple, la distance euclidienne est une mesure de distance très commune, facile à utiliser et utile pour comprendre comment les différences entre deux échantillons sont basées sur la cooccurrence des espèces. Le calcul de la distance euclidienne prend en compte les zéros dans les données, ce qui signifie que deux échantillons ou sites ne contenant aucune espèce en commun (double-absence) peuvent sembler plus similaires que deux sites partageant quelques espèces. Dans ce cas, la distance euclidienne peut être trompeuse et il est souvent préférable de choisir une mesure de distance différente si beaucoup d'espèces ont une abondance nulle dans votre matrice. Cette propriété est communément appelée le problème des «double zéros» en ordination.
+La variance expliquée par notre modèle a augmenté de 20% (R<sup>2</sup><sub>(adj)</sub> = 0.859) et quand on compare l'ajustement du modèle linéaire (rouge) au modèle non-linéaire (bleu), il est clair que l'ajustement de ce dernier est relativement meilleur.
-Quelques mesures de distance (d'après Gotelli et Ellison 2004):
+{{::graphic1.3.jpg?350|}}
-^Mesure^Propriété^Description^
+La librairie //mgcv// comprend également une fonction ''plot'' qui, par défaut, nous permet de visualiser la non-linéarité du modèle.
-^Euclidienne^Métrique^Distance entre deux points dans un espace en 2D.^
-^Manhattan^Métrique^Distance entre deux points - la distance est la somme des différences entre coordonnées cartésiennes.^
-^Corde^Métrique^Généralement utilisée pour déterminer les différences dues à la dérive génétique.^
-^Mahalanobis^Métrique^Distance entre un point et une distribution, où la distance est le nombre d'écart-types du point correspondant à la moyenne de la distribution.^
-^Chi-carré^Métrique^Similaire à la distance euclidienne.^
-^Bray-Curtis^Semi-métrique^Dissimilarité entre deux échantillons (ou sites) où la somme des valeurs minimales des espèces présentes dans les deux sites sont divisées par la somme des espèces répertoriées dans chaque site.^
-^Jaccard^Métrique^[[http://en.wikipedia.org/wiki/Jaccard_index|Description]] ^
-^Sorensen's^Semi-métrique^Bray-Curtis correspond à 1 - Sorensen^
-</hidden>
-=====2.1 Mesures de distance=====
+<file rsplus | smooth plot>
+plot(gam_model)
+</file>
-**Les données quantitatives des espèces**
+Comment utilisons-nous les GAMs pour savoir si un modèle linéaire est suffisant pour modéliser nos données ? Nous pouvons utiliser les fonctions ''gam()'' et ''anova()'' pour tester formellement si une hypothèse de linéarité est justifiée. Nous devons simplement le configurer de sorte que notre modèle non-linéaire est emboîté dans notre modèle linéaire; c'est à dire, nous devons créer un objet qui inclut à la fois ''x'' (linéaire) et ''s(x)'' (non-linéaire). En utilisant la fonction ''anova()'', on vérifie si l'ajout de ''s(x)'' au modèle avec seulement ''x'' comme covariable est justifié par les données.
-Nous pouvons utiliser la fonction vegdist () pour calculer des indices de dissimilarité sur des données de composition de la communauté. Ceux-ci peuvent ensuite être visualisés sous forme de matrice si désiré.
-<code rsplus | vegdist>
+<file rsplus | Test de linéarité>
-spe.db<-vegdist(spe, method="bray") # distance de Bray (avec des données de présence-absence, correspond à Sorensen)
+linear_model = gam(y_obs~x)
-spe.dj<-vegdist(spe, method="jac") # distance de Jaccard
+nested_gam_model = gam(y_obs~s(x)+x)
-spe.dg<-vegdist(spe, method="gower") # distance de Gower
+print(anova(linear_model, nested_gam_model, test="Chisq"))
-spe.db<-as.matrix(spe.db) # réarranger en format matrice (pour visualisation, ou pour exporter en .csv)
+</file>
-</code>
-Une version condensée de la matrice spe.db représentant la distance entre les trois premières espèces de DoubsSpe ressemblerait à ceci:
+Le terme non linéaire est significatif:
-^ ^Espèce 1^Espèce 2^Espèce 3^
-^Espèce 1^0.0^0.6^0.68^
-^Espèce 2^0.6^0.0^0.14^
-^Espèce 3^0.68^0.14^0.0^
-Vous pouvez voir que lorsque l'on compare une espèce à elle-même (par exemple, Espèce 1 à Espèce 1), la distance est de 0 puisque les espèces sont identiques.
-Ces mêmes mesures de distance peuvent être calculées à partir des données de présence-absence par l'utilisation de l'argument binary=TRUE dans la fonction vegdist(). Cela donnera des mesures de distance légèrement différentes.
+   Analysis of Deviance Table
+   Model 1: y_obs ~ x
+   Model 2: y_obs ~ s(x) + x
+         Resid. Df    Resid. Dev     Df        Deviance    Pr(>Chi)
+    248.00        6.5846
+    240.68        2.4988         7.3168    4.0858      < 2.2e-16 ***
+   ---
+   Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
-Vous pouvez également créer des représentations graphiques de ces matrices d'association en utilisant la fonction coldiss.
+----
-<hidden>
-Cette fonction peut être sourcée à partir du script coldiss.R:
-<code rsplus | coldiss>
-windows()
-coldiss(spe.db, byrank=FALSE, diag=TRUE) # Carte des points chauds Bray-Curtis
-windows()
-coldiss(spe.dj, byrank=FALSE, diag=TRUE) # Carte des points chauds Jaccard
-windows()
-coldiss(spe.dg, byrank=FALSE, diag=TRUE) # Carte des points chauds Gower
-</code>
-{{:coldiss_Bray.png?800|}}
-La figure montre une matrice de dissimilarité dont les couleurs reflètent la mesure de distance. La couleur violet est associée aux zones de fortes dissimilarités.
-</hidden>
-**Données environnementales quantitatives**
+**DÉFI 1**
-Regardons //les associations// entre les variables environnementales (aussi appelée mode Q):
-<code rsplus | distances mesurées à partir des données environnementales>
-env.de<-dist(env.z, method = "euclidean") # matrice de distances euclidiennes des données env. standardisées
-windows() # crée une nouvelle fenêtre graphique
-coldiss(env.de, diag=TRUE)
-</code>
-Nous pouvons ensuite regarder //la dépendance// entre les variables environnementales (aussi appelée mode R):
+Nous allons maintenant essayer cela avec d'autres données générées aléatoirement. Nous allons d'abord générer les données. Ensuite, nous allons ajuster un modèle linéaire et un GAM à la relation entre ''x_test'' et ''y_test_obs''.
-<code rsplus | corrélations entre les données environnementales>
+Quels sont les degrés de libertés effectifs du terme non-linéaire ? Déterminez si l'hypothèse de linéarité est justifiée pour ces données.
-(env.pearson<-cor(env)) # coefficient r de corrélation de Pearson
-round(env.pearson, 2)  # arrondit les coefficients à deux décimales
-(env.ken<-cor(env, method="kendall")) # coefficient tau de corrélation de rang de Kendall
-round(env.ken, 2)
-</code>
-La corrélation de Pearson mesure la corrélation linéaire entre deux variables. La corrélation de Kendall est une corrélation de rang qui quantifie la relation entre deux descripteurs ou deux variables lorsque les données sont ordonnées au sein de chaque variable.
+<file rsplus| Générer des données>
+n <- 250
+x_test <- runif(n,-5,5)
+y_test_fit <- 4*dnorm(x_test)
+y_test_obs <- rnorm(n,y_test_fit, 0.2)
+</file>
-Dans certains cas, il peut y avoir des types mixtes de variables environnementales. Le mode Q peut alors être utilisé pour trouver des associations entre variables environnementales. C'est ce que nous allons faire avec l'exemple fictif suivant:
+++++ Réponse au défi 1 |
-<code rsplus | Exemple>
-var.g1<-rnorm(30, 0, 1)
-var.g2<-runif(30, 0, 5)
-var.g3<-gl(3, 10)
-var.g4<-gl(2, 5, 30)
-(dat2<-data.frame(var.g1, var.g2, var.g3, var.g4))
-str(dat2)
-summary(dat2)
-</code>
-Une matrice de dissimilarité peut être générée pour ces variables mixtes en utilisant la distance de Gower:
+<file rsplus| Réponse au défi 1>
-<code rsplus | daisy>
+data_plot <- qplot(x_test, y_test_obs) +
-?daisy #Cette fonction peut gérer la présence de NA dans les données
+  geom_line(aes(y=y_test_fit))+
-(dat2.dg<-daisy(dat2, metric="gower"))
+  theme_bw()
-coldiss(dat2.dg)
+print(data_plot)
-</code>
-**Défi 1 - Niveau intermédiaire**
+linear_model_test <- gam(y_test_obs~x_test)
-Discutez avec votre voisin: Comment pouvons-nous dire si des objets sont similaires avec un jeu de données multivariées? Faites une liste de toutes vos suggestions.
+nested_gam_model_test <- gam(y_test_obs~s(x_test)+x_test)
+print(anova(linear_model_test, nested_gam_model_test, test="Chisq"))
-**Défi 1 - Solution**
+summary(nested_gam_model_test)$s.table
-<hidden>
+</file>
-Discussion avec le groupe.
-</hidden>
-**Défi 1 - Niveau avancé**
+  Analysis of Deviance Table
-Calculer à la mitaine // sans utiliser la fonction decostand () // les distances de Bray-Curtis et de Gower pour l'abondance des espèces CHA, TRU et VAI dans les sites 1, 2 et 3.
+  Model 1: y_test_obs ~ x_test
+  Model 2: y_test_obs ~ s(x_test) + x_test
+       Resid. Df   Resid. Dev    Df      Deviance   Pr(>Chi)
+     248.0      81.09
+     240.5      7.46          7.5012   73.629    < 2.2e-16 ***
+  ---
+  Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
-**Défi 1 - Solution**
+                 edf   Ref.df        F p-value
-<hidden>
+  s(x_test) 7.602145 8.029057 294.0944       0
-Formule pour calculer la distance de Bray-Curtis: d[jk] = (sum abs(x[ij]-x[ik]))/(sum (x[ij]+x[ik]))
+Réponse: Oui la non-linéarité est justifiée. Les degrés de libertés effectifs (edf) sont >> 1.
-Réduisez le jeu de données aux espèces CHA, TRU et VAI et aux sites 1, 2 et 3
+{{::challenge_1_soln.jpg?350|}}
-<code rsplus | Subset>
-spe.challenge<-spe[1:3,1:3] # les 3 premières lignes et 3 premières espèces (colonnes)
-</code>
-Déterminer l'abondance totale des espèces pour chaque site d'intérêt (somme des trois lignes) qui correspondra au dénominateur de la distance de Bray-Curtis.
+++++
-<code rsplus | Abondance par site>
+===== 2. Plusieurs termes non linéaires =====
->(Abund.s1<-sum(spe.challenge[1,]))
-(Abund.s2<-sum(spe.challenge[2,]))
-(Abund.s3<-sum(spe.challenge[3,]))
-</code>
-Maintenant, calculez la différence de l'abondance des espèces pour chaque paire de sites. Par exemple, quelle est la différence entre l'abondance de CHA et TRU dans le site 1? Vous devez calculer les différences suivantes:
+Avec les GAMs, il est facile d'ajouter des termes non linéaires et linéaires dans un seul modèle, plusieurs termes non linéaires ou même des interactions non linéaires. Dans cette section, nous allons utiliser un ensemble de données générées automatiquement par //mgcv//.
-CHA et TRU site 1
-CHA et VAI site 1
-TRU et VAI site 1
-CHA et TRU site 2
-CHA et VAI site 2
-TRU et VAI site 2
-CHA et TRU site 3
-CHA et VAI site 3
-TRU et VAI site 3
-<code rsplus | Différences d'abondance>
+<file rsplus | Générer des données non-linéaires>
-Spec.s1s2<-0
+gam_data = gamSim(eg=5)
-Spec.s1s3<-0
+head(gam_data)
-Spec.s2s3<-0
+</file>
-for (i in 1:3) {
-  Spec.s1s2<-Spec.s1s2+abs(sum(spe.challenge[1,i]-spe.challenge[2,i]))
-  Spec.s1s3<-Spec.s1s3+abs(sum(spe.challenge[1,i]-spe.challenge[3,i]))
-  Spec.s2s3<-Spec.s2s3+abs(sum(spe.challenge[2,i]-spe.challenge[3,i])) }
-</code>
-Maintenant, utilisez les différences calculées comme numérateur et l'abondance totale de l'espèce comme dénominateur pour retrouver l'équation de la distance de Bray-Curtis.
+Nous allons voir comment nous pouvons prédire la variable réponse y en fonction des autres variables. Commençons par un modèle de base comprenant un terme non linéaire (x1) et un facteur qualitatif (X0 avec 4 niveaux).
-<code rsplus | Distance de Bray-Curtis>
-(db.s1s2<-Spec.s1s2/(Abund.s1+Abund.s2)) #1 comparé à 2
-(db.s1s3<-Spec.s1s3/(Abund.s1+Abund.s3)) #1 comparé à 3
-(db.s2s3<-Spec.s2s3/(Abund.s2+Abund.s3)) #2 comparé à 3
-</code>
-Vérifiez vos résultats en utilisant la fonction vegdist () :
+<file rsplus | Générer des données non linéaires >
-<code rsplus | Vérification des résultats>
+basic_model = gam(y~x0+s(x1), data= gam_data)
-(spe.db.challenge<-vegdist(spe.challenge, method="bray"))
+basic_summary = summary(basic_model)
-</code>
+print(basic_summary$p.table)
+print(basic_summary$s.table)
+plot(basic_model)
+</file>
-Une matrice comme celle-ci est calculée et devrait être correspondre à vos calculs manuels:
+Ici, la sortie de ''p.table'' fournit le tableau de résultats pour chaque terme paramétrique et le tableau ''s.table'' nous donne les résultats du terme non linéaire. Notez que pour le second tableau, la courbure du terme non linéaire ''s(X1)'' est indiquée par le paramètre edf (degrés de libertés effectifs); plus la valeur de l'edf est élevée, plus la non-linéarité est forte. Une valeur élevée (8-10 ou plus) signifie que la courbe est fortement non linéaire, alors qu'une courbe avec un edf égal à 1 est une ligne droite. En revanche, dans la régression linéaire, les degrés de libertés du //modèle// sont équivalents au nombre de paramètres libres non redondants p dans le modèle (et les degrés de libertés //résiduels// sont égaux à n-p). Nous reviendrons plus tard sur le concept d'edf.
-^ ^Site 1^Site 2^
-^Site 2^0.5^--^
-^Site 3^0.538^0.0526^
-Pour la distance de Gower, procédez de la même façon, mais utiliser l'équation appropriée:
+   print(basic_summary$p.table)
-Distance de Gower: d[jk] = (1/M) sum(abs(x[ij]-x[ik])/(max(x[i])-min(x[i])))
+               Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)
-<code rsplus | Distance de Gower>
+   (Intercept) 8.550030  0.3655849 23.387258 1.717989e-76
-# Calculer le nombre de colonnes
+   x02         2.418682  0.5165515  4.682364 3.908046e-06
-M<-ncol(spe.challenge)
+   x03         4.486193  0.5156501  8.700072 9.124666e-17
+   x04         6.528518  0.5204234 12.544629 1.322632e-30
+   > print(basic_summary$s.table)
+              edf   Ref.df        F      p-value
+   s(x1) 1.923913 2.406719 42.84268 1.076396e-19
-# Calculer les différences d'abondance de chaque espèce entre paires de sites
-Spe1.s1s2<-abs(spe.challenge[1,1]-spe.challenge[2,1])
-Spe2.s1s2<-abs(spe.challenge[1,2]-spe.challenge[2,2])
-Spe3.s1s2<-abs(spe.challenge[1,3]-spe.challenge[2,3])
-Spe1.s1s3<-abs(spe.challenge[1,1]-spe.challenge[3,1])
-Spe2.s1s3<-abs(spe.challenge[1,2]-spe.challenge[3,2])
-Spe3.s1s3<-abs(spe.challenge[1,3]-spe.challenge[3,3])
-Spe1.s2s3<-abs(spe.challenge[2,1]-spe.challenge[3,1])
-Spe2.s2s3<-abs(spe.challenge[2,2]-spe.challenge[3,2])
-Spe3.s2s3<-abs(spe.challenge[2,3]-spe.challenge[3,3])
-# Calculer l'étendue d'abondance de chaque espèces parmi les sites
+Dans notre modèle de base, l'edf du terme non linéaire s(x1) est ~ 2, ce qui indique une courbe non linéaire. Le graphique du modèle illustre bien la forme de ce terme non linéaire :
-Range.spe1<-max(spe.challenge[,1]) - min (spe.challenge[,1])
-Range.spe2<-max(spe.challenge[,2]) - min (spe.challenge[,2])
-Range.spe3<-max(spe.challenge[,3]) - min (spe.challenge[,3])
-# Calculer la distance de Gower
+{{::graphic2.2.jpg?425|}}
-(dg.s1s2<-(1/M)*((Spe2.s1s2/Range.spe2)+(Spe3.s1s2/Range.spe3)))
-(dg.s1s3<-(1/M)*((Spe2.s1s3/Range.spe2)+(Spe3.s1s3/Range.spe3)))
-(dg.s2s3<-(1/M)*((Spe2.s2s3/Range.spe2)+(Spe3.s2s3/Range.spe3)))
-# Vérifier vos résultats
+Nous pouvons ajouter un second terme x2, mais spécifier une relation linéaire avec Y (//i.e.// les GAMs peuvent inclure à la fois des termes linéaires et non linéaires dans le même modèle). Ce nouveau terme linéaire x2 sera présenté dans le tableau ''p.table'', pour lequel une estimation du coefficient de régression sera indiquée. Dans le tableau ''s.table'', nous retrouvons encore une fois le terme non linéaire s(x1) et son paramètre de courbure.
-(spe.db.challenge<-vegdist(spe.challenge, method="gower"))
-</code>
-</hidden>
+<file rsplus | deux termes>
+two_term_model <- gam(y~x0+s(x1)+x2, data=gam_data)
+two_term_summary <- summary(two_term_model)
+print(two_term_summary$p.table)
+print(two_term_summary$s.table)
+</file>
+Pour évaluer si la relation entre y et x2 est non linéaire, on peut modéliser x2 avec une fonction non linéaire. Tel que vu auparavant, nous pouvons utiliser une ANOVA pour tester si le terme non linéaire est nécessaire.
-=====2.2 Transformations des données de composition des communautés=====
+<file rsplus | Deux termes non linéaires >
+two_smooth_model <- gam(y~x0+s(x1)+s(x2), data=gam_data)
+two_smooth_summary <- summary(two_smooth_model)
+print(two_smooth_summary$p.table)
+print(two_smooth_summary$s.table)
+plot(two_smooth_model,page=1)
+</file>
-Les données de composition des communautés peuvent également être standardisées ou transformées. La fonction decostand () de vegan fournit des options de standardisation et de transformation de ce type de données
+{{::graphic2.4.jpg?600|}}
-Transformer les abondances en données de présence-absence:
+Lorsqu'il y a plus d'une variable d'incluse dans le modèle, comme ci-dessus, la réponse ajustée peut-être partitionnée entre les contributions de chaque variable. Ici, nous pouvons évaluer l'effet de chaque variable où l'axe des ordonnées représente la contribution (effet) de chaque covariable à la réponse ajustée centrée sur 0. Si l'intervalle de confiance chevauche zéro pour certaines valeurs de x, cela indique que l'effet est non significatif. Lorsque la contribution varie selon l'axe x, un changement de cette variable cause un changement de la variable réponse.
-<code rsplus | decostand, présence-absence>
-spe.pa<-decostand(spe, method="pa")
-</code>
-D'autres transformations peuvent être utilisées pour corriger l'influence d'espèces rares, par exemple, la transformation de Hellinger:
+<file rsplus | ANOVA>
-<code rsplus | Hellinger et Chi-carré>
+anova(basic_model,two_term_model,two_smooth_model, test="Chisq")
-#La transformation Hellinger
+</file>
-spe.hel<-decostand(spe, method="hellinger") # vous pouvez aussi simplement écrire "hel"
-#Transformation de chi-carré
+    Analysis of Deviance Table
-spe.chi<-decostand(spe, method="chi.square")
+    Model 1: y ~ x0 + s(x1)
-</code>
+    Model 2: y ~ x0 + s(x1) + x2
+    Model 3: y ~ x0 + s(x1) + s(x2)
+      Resid. Df Resid. Dev      Df Deviance  Pr(>Chi)
+    394.08     5231.6
+    393.10     4051.3 0.97695   1180.2 < 2.2e-16 ***
+    385.73     1839.5 7.37288   2211.8 < 2.2e-16 ***
+    ---
+    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
-**Défi option 2 - Niveau avancé**
+Le meilleur modèle est le modèle avec deux fonctions non linéaires pour x1 et pour x2.
-Calculez les distances de Hellinger et de Chi-carré sur les données "spe" sans utiliser decostand ().
-**Défi option 2 - Solution**
+----
-<hidden>
-La transformation de Hellinger est une transformation qui diminue l'importance accordée aux espèces rares.
-<code rsplus | Solution>
-# Hellinger
-# Calculer l'abondance des espèces par site
-(site.totals=apply(spe, 1, sum))
-# Réduire les abondances d'espèces en les divisant par les totaux par sites
+**DÉFI 2**
-(scale.spe<-spe/site.totals)
-# Calculer la racine carrée des abondances d'espèces réduites
+Créez deux nouveaux modèles avec la variable x3 : un modèle avec x3 comme paramètre linéaire et un autre modèle avec x3 avec un paramètre non linéaire. Utilisez des graphiques, les tables des coefficients et la fonction ''anova()'' afin de déterminer s'il est nécessaire d'inclure x3 dans le modèle.
-(sqrt.scale.spe<-sqrt(scale.spe))
-# Comparer les résultats
+++++ Réponse au défi 2|
-sqrt.scale.spe
-spe.hel
-sqrt.scale.spe-spe.hel # ou: sqrt.scale.spe/spe.hel
-# Chi-carré
+<file rsplus | Réponse au défi 2>
-# Premièrement calculer le total des abondances d'espèces par site
+three_term_model <- gam(y~x0+s(x1)+s(x2)+x3, data=gam_data)
-(site.totals<-apply(spe, 1, sum))
+three_smooth_model <- gam(y~x0+s(x1)+s(x2)+s(x3), data=gam_data)
+three_smooth_summary <- summary(three_smooth_model)
-# Ensuite calculer la racine carrée du total des abondances d'espèces
+print(three_smooth_summary$p.table)
-(sqrt.spe.totals<-sqrt(apply(spe, 2, sum)))
+print(three_smooth_summary$s.table)
+plot(three_smooth_model,page=1)
+# edf = 1 -> le terme est donc linéaire.
-# Réduire les abondances d'espèces en les divisant par les totaux par sites et les totaux par espèces
+anova(two_smooth_model,three_term_model,test="Chisq")
-scale.spe2<-spe
+# le terme x3 n'est pas significatif
-for (i in 1:nrow(spe)) {
+</file>
-  for (j in 1:ncol(spe)) {
-   (scale.spe2[i,j]=scale.spe2[i,j]/(site.totals[i]*sqrt.spe.totals[j]))   }}
-#Ajuster les abondances en les multipliant par la racine carrée du total de la matrice des espèces
+++++
-(adjust.scale.spe2<-scale.spe2*sqrt(sum(rowSums(spe))))
+===== 3. Interactions =====
-#Vérifier les résultats
+Il y a deux façons de modéliser une interaction entre deux variables:
-adjust.scale.spe2
+  * si une variable est quantitative et l'autre est qualitative, on utilise l'argument ''by'' -> s(x, by=facteur),
-spe.chi
+  * si les deux variables sont quantitatives, on inclut les deux termes sous une même fonction non linéaire -> s(x1, x2).
-adjust.scale.spe2-spe.chi # or: adjust.scale.spe2/spe.chi
+L'argument ''by'' permet de faire varier un terme non linéaire selon les différents niveaux d'un facteur. Nous allons examiner ceci en utilisant notre variable qualitative ''x0'' et examiner si la non-linérité de ''s(x2)'' varie selon les différents niveaux de ''x0''. Pour déterminer si les courbes diffèrent significativement entre les niveaux du facteur, nous allons utiliser une ANOVA sur l'interaction.
-</code>
-</hidden>
-======3. Ordination sans contrainte======
+<file rsplus | Interaction qualitative >
+categorical_interact <- gam(y~x0+s(x1)+s(x2,by=x0),data=gam_data)
+categorical_interact_summary <- summary(categorical_interact)
+print(categorical_interact_summary$s.table)
+plot(categorical_interact,page=1)
+# ou nous pouvons utiliser la fonction vis.gam où theta représente la rotation du plan x-y
+vis.gam(categorical_interact,view=c("x2","x0"),theta=40,n.grid=500,border=NA)
+anova(two_smooth_model, categorical_interact,test="Chisq")
+</file>
+{{::graphic3.1b.png?350|}}
-Les analyses d'ordination sans contrainte permettent d'organiser des échantillons, des sites ou des espèces le long de gradients continus (ex. écologiques ou environnementaux). Les ordinations sans contrainte se différencient des analyses canoniques (voir plus loin dans cet atelier "analyses canoniques") par le fait que ces techniques ne tentent pas de définir une relation entre des variables dépendantes et indépendantes.
+Nous pouvons constater à partir du graphique que les formes des termes non linéaires sont comparables entre les quatre niveaux de ''x0''. L'ANOVA le confirme également (déviance = 98,6, p = 0,2347).
-L'ordination sans contrainte peut être utilisée pour:
+Ensuite, nous allons examiner l'interaction non linéaire entre deux termes quantitatifs, ''x1'' et ''x2''. Cette fois-ci, l'argument ''by'' est supprimé.
-- Évaluer les relations //au sein// d'un ensemble de variables (et non pas entre séries de variables).
-- Trouver les éléments clés de variation au sein d'échantillons, de sites, d'espèces, etc.
-- Réduire les dimensions d'un jeu de données multivariées sans perte importante d'informations.
-- Créer de nouvelles variables pour une utilisation dans des analyses ultérieures (comme la régression). Les composantes principales des axes d'ordination sont en effet des combinaisons linéaires des variables d'origine.
-[[http://www.umass.edu/landeco/teaching/multivariate/schedule/ordination1.pdf|Source]]
-=====3.1 Analyses en Composantes Principales (Principal Component Analysis, PCA)=====
+<file rsplus | Interaction quantitative>
+smooth_interact <- gam(y~x0+s(x1,x2),data=gam_data)
+smooth_interact_summary <- summary(smooth_interact)
+print(smooth_interact_summary$s.table)
+plot(smooth_interact,page=1,scheme=3)
+# plot(smooth_interact,page=1,scheme=1) donne un graphique comparable à vis.gam()
+vis.gam(smooth_interact,view=c("x1","x2"),theta=40,n.grid=500,border=NA)
+anova(two_smooth_model,smooth_interact,test="Chisq")
+</file>
-L'Analyse en Composantes Principales (ou PCA) fur originellement décrite par Pearson (1901) bien qu'elle soit le plus souvent attribué à Hotelling (1933) qui l'a proposé indépendamment. Cette méthode ainsi que nombre de ces implications sont pour l'analyse de données sont présentées dans l'article fondateur de Rao (1964). La PCA est utilisée pour générer, à partir d'un large jeu de données, un nombre restreint de variables clefs qui permettent de représenter au maximum la variation présente dans le jeu de données. En d'autres termes, la PCA est utilisée pour générer des combinaisons de variables à partir d'un ensemble plus grand de variables tout en conservant la majorité de variation de l'ensemble des données. La PCA est une technique d'analyse puissante pour l'analyse dans descripteurs quantitatifs (tels que les abondances d'espèces), mais ne peut pas être appliquée aux données binaires (telles que l'absence/présence des espèces).
+{{::graphic3.2b.png?350|}}
-À partir d'un jeu de données contenant des variables à distribution normale, le premier axe de PCA (ou axe de composante principale) correspond à la droite qui traverse la plus grande dimension de l’ellipsoïde décrivant la distribution multi-normale des données. Les axes suivants traversent de façon similaire cet ellipsoïde selon l'ordre décroissant de ces dimensions. Ainsi, il est possible d'obtenir un maximum de p axes principaux à partir d'un jeu de données contenant p variables.
+L'interaction entre ''s(x1)'' et ''s(x2)'' est significative et le graphique en deux dimensions illustre très bien cette interaction non linéaire. La relation entre y et x1 change en fonction de la valeur de x2. Vous pouvez changez la valeur de l'argument ''theta'' pour tourner l'axe du graphique. Si vous prévoyez exécuter un grand nombre de graphiques, supprimez l'argument ''n.grid = 500'', car ceci fait appel à des calculs intensifs et ralentit R.
-Pour cela, la PCA effectue un rotation du système d'axes originels défini par les variables de façon à ce que les axes d'ordination successifs soient orthogonaux entre eux et correspondent aux dimensions successives du maximum de variance observée dans le nuage de points (voir ci-dessus). Les nouvelles variables produites par la PCA sont non-corrélées entre elles (les axes d'ordination étant orthogonaux) et peuvent alors être utilisés dans d'autres types d'analyse telles que des régressions multiples (Gotelli et Ellison, 2004). Les composantes principales situent la position des objets dans le nouveau système de coordonnées calculé par la PCA. La PCA s'effectue sur une matrice d'association entre variables, et a pour caractéristique de préserver les distances euclidiennes et de détecter des relations linéaires, uniquement. En conséquence, les abondances brutes des espèces doivent être soumises à une pré-transformation (comme une transformation d'Hellinger) avant de réaliser une PCA.
+===== 4. Changer la fonction de base =====
-//Pour faire une PCA, vous avez besoin ://
+Sans entrer dans le détail, sachez qu'il est possible de modifier le modèle de base que nous avons vu avec :
-- Un ensemble de variables (sans distinction entre les variables indépendantes ou dépendantes, c-est-à-dire un ensemble d'espèces OU un ensemble de variables environnementales).
+  * des fonctions plus complexes en modifiant la fonction de base (par exemple, cyclique),
-- De sites (objets, échantillons) dans lesquels sont mesurés les mêmes variables.
+  * d'autres distributions : tout ce que vous pouvez faire avec un GLM (tel que spécifier l'argument ''family'') est possible avec les GAMs,
-- En général, il est préférable d'avoir un plus grand nombre de sites que de variables dans le jeu de données (plus de lignes que de colonnes).
+  * des modèles à effets mixtes en utilisant la fonction //gamm// ou la fonction //gamm4// de la librairie //gamm4//.
+Nous allons d'abord jeter un coup d’œil au changement de la fonction de base puis une introduction rapide aux autres distributions et les GAMMs (modèles additifs généralisés à effets mixtes) suivra. Commençons par regarder un cas où modifier la fonction de base peut être utile, soit avec des données cycliques.
-La PCA est particulièrement utile pour des matrices de données contenant plus de deux variables, mais il est plus facile de décrire son fonctionnement avec un exemple bidimensionnel. Dans l'exemple suivant (d'après Clarke et Warwick 2001), la matrice contient les données d'abondance de deux espèces dans neuf sites:
+Imaginez que vous avez une série temporelle de données climatiques, divisées en mesures mensuelles, et que vous voulez déterminer s'il y a une tendance de température annuelle. Nous allons utiliser la série temporelle de température de Nottingham pour cette section :
-^Site^Espèce 1^Espèce 2^
+<file rsplus | Fonction de base cyclique>
-^A^6^2^
+data(nottem)
-^B^0^0^
+n_years <- length(nottem)/12
-^C^5^8^
+nottem_month <- rep(1:12, times=n_years)
-^D^7^6^
+nottem_year <- rep(1920:(1920+n_years-1),each=12)
-^E^11^6^
+nottem_plot <- qplot(nottem_month,nottem,
-^F^10^10^
+                    colour=factor(nottem_year),
-^G^15^8^
+                    geom="line") + theme_bw()
-^H^18^14^
+print(nottem_plot)
-^I^14^14^
+</file>
-La représentation des sites en deux dimensions devrait ressembler à ceci:
+En utilisant les données //nottem//, nous avons créé trois nouveaux vecteurs ; ''n_years'' correspond au nombre d'années de données (20 ans), ''nottem_month'' est un codage qualitatif pour les 12 mois de l'année, pour chaque année échantillonnée (série de 1 à 12, répétée 20 fois) et ''nottem_year'' est une variable où l'année correspondant à chaque mois est fournie.
-{{:pcaex_1.png?500|}}
-Ce nuage de points est une ordination. Il présente la distribution des espèces entre les sites, mais vous pouvez imaginer qu'il est plus difficile de visualiser un tel graphique en présence de plus de deux espèces. Dans ce cas, l'objectif est de réduire le nombre de variables en composantes principales. Pour réduire les données bidimensionnelles précédentes à une dimension, une PCA peut être effectuée :
+Données mensuelles des années 1920 à 1940:
-{{:pcaex_2.png?500|}}
+{{::graphic4.1.jpg?500|}}
-Dans ce cas, la première composante principale est orientée dans le sens de la plus grande variation dans les points, ces points étant perpendiculaires à la ligne.
+Pour modéliser cela, nous devons utiliser ce qu'on appelle un "spline cubique cyclique", ou ''cc'', pour modéliser les effets du mois et de l'année.
+<file rsplus | gam cyclique >
+year_gam <- gam(nottem~s(nottem_year)+s(nottem_month, bs="cc"))
+summary(year_gam)$s.table
+plot(year_gam,page=1, scale=0)
+</file>
-Une seconde composante principale est alors ajoutée perpendiculairement à la première:
+{{::graphic4.2.jpg?700|}}
-{{:pcaex_3.png?500|}}
+Il y a une hausse d'environ 1 - 1,5ºC au cours de la série, mais au cours d'une année, il y a une variation d'environ 20ºC.
+Les données réelles varient autour de ces valeurs prédites et ceci représente donc la variance inexpliquée. Ici, nous pouvons voir l'un des avantages très intéressants de l'utilisation des GAMs. Nous pouvons soit tracer la surface réponse (valeurs prédites) ou les termes (contribution de chaque covariable) tel qu'indiqué ci-haut. Vous pouvez imaginer ce dernier en tant qu'une illustration de la variation des coefficients de régression et comment leur contribution (ou taille de leur effet) varie au fil du temps. Dans le premier graphique, nous voyons que les contributions positives de la température sont survenues après 1930.
-Dans le diagramme final, les deux axes de PCA sont pivotés et les axes sont maintenant les composantes principales (et non plus les espèces):
+Sur des échelles de temps plus longues, en utilisant par exemple des données paléolimnologiques, d'autres ([[http://www.aslo.info/lo/toc/vol_54/issue_6_part_2/2529.pdf|Simpson & Anderson 2009;. Fig 3c]]) ont utilisé des GAMs pour tracer la contribution (effet) de la température sur la composition d'algues dans les lacs afin d'illustrer comment les contributions significatives ont seulement eu lieu au cours de deux périodes extrêmement froides (c'est-à-dire, la contribution est importante lorsque les intervalles de confiance ne recoupent pas la valeur de zéro à environ 300 et 100 ans AVJC). Cela a permis aux auteurs de non seulement déterminer combien de variance est expliquée par la température au cours des derniers siècles, mais aussi de repérer dans le temps cet effet significatif. Si cela vous intéresse, le code pour tracer soit la surface de réponse (''type = "response"'') ou les termes (''type = "terms"'') est disponible ci-dessous. Lorsque les termes sont sélectionnés, vous obtiendrez la même figure que celle ci-dessus.
-{{:pcaex_4.png?500|}}
+++++ Graphique de contribution vs réponse ajustée|
+<file rsplus | contribution plot>
+pred<-predict(year_gam, type = "terms", se = TRUE)
+I<-order(nottem_year)
+plusCI<-I(pred$fit[,1] + 1.96*pred$se[,1])
+minusCI<-I(pred$fit[,1] - 1.96*pred$se[,1])
+xx <- c(nottem_year[I],rev(nottem_year[I]))
+yy <- c(plusCI[I],rev(minusCI[I]))
+plot(xx,yy,type="n",cex.axis=1.2)
+polygon(xx,yy,col="light grey",border="light grey")
+lines(nottem_year[I], pred$fit[,1][I],lty=1)
+abline(h=0)
+</file>
+++++
-Pour les PCA avec plus de deux variables, les composantes principales sont ajoutées de la façon suivante (Clarke et Warwick 2001):
+===== 5. Intro rapide aux GAMMs =====
-PC1 = axe qui maximise la variance des points qui sont projetées perpendiculairement à l'axe.
+==== La non-indépendance des données ====
-PC2 = axe perpendiculaire à PC1, mais dont la direction est à nouveau celle maximisant la variance lorsque les points y sont projetés perpendiculairement.
-PC3 et ainsi de suite: perpendiculaire aux deux premiers axes dont la direction est à nouveau celle maximisant la variance lorsque les points y sont projetés perpendiculairement.
-Lorsqu'il y a plus de deux dimensions, la PCA produit un nouvel espace dans lequel tous les axes de PCA sont orthogonaux (ce qui signifie que la corrélation entre chaque combinaison de deux axes est nulle), et où les axes de PCA sont ordonnés selon la proportion de variance des données d'origine qu'ils expliquent.
+Lorsque les observations ne sont pas indépendantes, les GAMs peuvent être utilisés soit pour incorporer:
+  * une structure de corrélation pour modéliser les résidus autocorrélés (autorégressif (AR), moyenne mobile (MA), ou une combinaison des deux (ARMA))
+  * des effets aléatoires qui modélisent l'indépendance entre les observations d'un même site.
+En plus de changer la fonction de base, nous pouvons aussi complexifier le modèle en intégrant une structure d'auto-corrélation (ou même des effets mixtes) en utilisant les fonctions //gamm// ou //gamm4//.
+Pour commencer, nous allons jeter un coup d’œil au premier cas ; un modèle avec autocorrélation temporelle dans les résidus. Ré-examinons le modèle de la température de Nottingham; nous allons vérifier si les résidus sont corrélés en faisant appel à la fonction (partielle) d'autocorrélation.
-Les données "spe" comprennent 27 espèces de poissons. Pour simplifier cette diversité à un petit nombre de variables ou pour identifier différents groupes de sites associés à des espèces particulières, une PCA peut être effectuée.
+<file rsplus| Erreurs corrélées>
+par(mfrow=c(1,2))
+acf(resid(year_gam), lag.max = 36, main = "ACF")
+pacf(resid(year_gam), lag.max = 36, main = "pACF")
+</file>
-Exécuter une PCA sur les données d'abondance d'espèces soumises à la transformation d'Hellinger :
+{{::graphic5.1.jpg?700|}}
-<code rsplus | PCA avec rda() de (vegan)>
-#Exécuter la PCA avec la fonction rda()- cette fonction calcule à la fois des PCA et des RDA
-spe.h.pca<-rda(spe.hel)
-#Extraire les résultats
+Les graphiques des fonctions d'autocorrélation suggèrent qu'un modèle AR de faible ordre est nécessaire (avec un ou deux intervalles de temps décalés), donc nous pouvons évaluer deux modèles; ajouter un AR(1) ou un AR(2) au modèle de la température de Nottingham et évaluer le meilleur avec une ANOVA.
-summary(spe.h.pca)
-</code>
-Résultats:
+<file rsplus| modèles AR>
+year_gam <- gamm(nottem~s(nottem_year)+s(nottem_month, bs="cc"))
+year_gam_AR1 <- gamm(nottem~s(nottem_year)+s(nottem_month, bs="cc"),
+                     correlation = corARMA(form = ~ 1|nottem_year, p = 1))
+year_gam_AR2 <- gamm(nottem~s(nottem_year)+s(nottem_month, bs="cc"),
+                     correlation = corARMA(form = ~ 1|nottem_year, p = 2))
+anova(year_gam$lme,year_gam_AR1$lme,year_gam_AR2$lme)
+</file>
-{{:pca_outputfr_1.png?800|}}
+                   Model df      AIC      BIC    logLik   Test   L.Ratio p-value
-{{:pca_outputfr_2.png?800|}}
+  year_gam$lme         1  5 1109.908 1127.311 -549.9538
-{{:pca_outputfr_3.png?800|}}
+  year_gam_AR1$lme     2  6 1101.218 1122.102 -544.6092 1 vs 2 10.689206  0.0011
+  year_gam_AR2$lme     3  7 1101.598 1125.962 -543.7988 2 vs 3  1.620821  0.2030
+Le modèle avec la structure AR(1) prévoit une augmentation significative comparativement au premier modèle (LRT = 10,69, p = 0,0011), mais il y a très peu d'intérêt à considérer le modèle AR(2) (LRT = 1,62, b = 0,203).
+==== Modélisation avec effets mixtes ====
-**Interprétation des résultats de PCA**
+Comme nous l'avons vu dans la section précédente, ''bs'' spécifie la fonction de base sous-jacente. Pour les facteurs aléatoires (origine et pente linéaire), nous utilisons ''bs = "re"'' et pour les pentes aléatoires non linéaires, nous utilisons ''bs = "fs"''.
-Cette sortie R contient les valeurs propres ou «eigenvalue» de la PCA. La valeur propre est la valeur de la variation ramenée à la longueur d'un vecteur, et correspond à la quantité de variation expliquée par chaque axe d'ordination de la PCA. Comme vous pouvez le voir, la fonction summary fournit de nombreuses informations. Parmi les résultats, la proportion de variance des données expliquée par les variables sans contraintes est une information importante. Dans cet exemple, la variance totale des sites expliquée par les espèces est de 0,5 (50%). Le résumé vous indique également quelle proportion de la variance totale expliquée est répartie entre chaque composantes principales de la PCA: le premier axe de PCA explique 51.33% de la variation tandis que le second axe explique 12.78%. Vous pouvez également extraire certaines parties des résultats:
-<code rsplus | Résultats de PCA>
-summary(spe.h.pca, display=NULL) # seulement les valeurs propres
-eigen(cov(spe.hel)) # vous pouvez aussi trouver les valeurs propres par cette ligne de code
-</code>
-Les scores (c'est-à-dire les coordonnées) des sites ou des espèces peuvent également être extraits d'une PCA. Ces scores permettent, par exemple, d'utiliser une composante principale comme une variable dans une autre analyse, ou de faire des graphiques supplémentaires. Par exemple, vous pouvez obtenir par PCA une variable unique issue du jeu de données "spe" puis l'utiliser pour la corréler par régression à une autre variable, ou déterminer un gradient spatial. Pour extraire les scores d'une PCA, utiliser la fonction  scores ():
+Trois types d'effets aléatoires différents sont possibles lors de l'utilisation des GAMMs (où //fac// représente une variable qualitative utilisée pou l'effet aléatoire et //x0// est un effet quantitatif fixe) :
-<code rsplus | scores()>
+  * //interceptes aléatoires// ajustent la hauteur des termes du modèle avec une valeur constante de pente : s(fac, bs="re")
-spe.scores<-scores(spe.h.pca, display="species", choices=c(1,2)) # scores des espèces selon les premier et deuxième axes
+  * //pentes aléatoires// ajustent la pente d'une variable explicative numérique: s(fac, x0, bs="re")
-site.scores<-scores(spe.h.pca, display="sites", choices=c(1,2)) # scores des sites selon les premier et deuxième axes
+  * //surfaces lisses aléatoires// ajustent la tendance d'une prédiction numérique de façon non linéaire: s(x0, fac, bs="fs", m=1) où l'argument m = 1 met une plus grande pénalité au lissage qui s'éloigne de 0, ce qui entraîne un retrait vers la moyenne.
-#Remarque: si vous ne spécifiez pas le nombre de composantes principales à l'aide de choices = c (1,2)
-#(ou choices = c (1: 2)), les scores selon toutes les composantes principales seront extraits.
-</code>
-La PCA des données d'abondances de poissons produit autant de composantes principales qu'il y d'espèces (i.e. de colonnes dans le jeu de données), soit 27 composantes principales. Le nombre de variables à traiter n'est donc pas directement réduit par la PCA. Pour réduire le nombre de variables, il est alors nécessaire de déterminer quelles composantes principales sont significatives et doivent être conservées, par exemple à l'aide du critère de Kaiser-Guttman. Ce critère compare la variance expliquée par chaque composante principale à la moyenne de la variance expliquée par l'ensemble des composantes principales. Un histogramme illustrant la significativité des différentes composantes principale peut ensuite être tracé à l'aide du code ci-dessous :
+Nous examinerons d'abord un GAMM avec un interception aléatoire. Tel que vu précédemment, nous allons utiliser ''gamSim()'' pour générer un ensemble de données, cette fois-ci avec une composante d'effet aléatoire. Ensuite, nous construirons un modèle avec un intercepte aléatoire en utilisant //fac// comme facteur aléatoire.
-<code rsplus | Les axes>
-# Identification des axes significatifs de la PCA à l'aide du critère de Kaiser-Guttman
-ev<-spe.h.pca$CA$eig
-ev[ev>mean(ev)]
-n<-length(ev)
-bsm<-data.frame(j=seq(1:n), p=0)
-bsm$p[1]=1/n
-for (i in 2:n) {
-  bsm$p[i]=bsm$p[i-1]+(1/(n=1-i))}
-bsm$p=100*bsm$p/n
-bsm
-barplot(ev, main="valeurs propres", col="grey", las=2)
-abline(h=mean(ev), col="red")
-legend("topright", "moyenne des valeurs propres", lwd=1, col=2, bty="n")
-</code>
-{{:pca_sigaxes_sp.png?500|}}
+<file rsplus| Intercepte aléatoire >
+# Générez des données
+gam_data2 <- gamSim(eg=6)
+head(gam_data2)
-Cet histogramme montre que la proportion de la variance expliquée par chaque composante chute en-dessous de la proportion moyenne expliquée par l'ensemble des composantes après le sixième axe d"ordination PC6. En consultant le résumé de nouveau, on peut constater que la proportion cumulée de la variance expliquée par les cinq premières composantes principales est de 85%.
+# Faites rouler un modèle avec intercepte aléatoire
+gamm_intercept <- gam(y ~ s(x0) + s(fac, bs="re"), data=gam_data2)
+summary(gamm_intercept)
+</file>
-La PCA n'est pas seulement appropriée pour les données de composition d'espèces, mais peut également être exécutée sur des variables environnementales standardisées:
+Notez le terme aléatoire dans le tableau. Vous pouvez le visualiser:
-<code rsplus | PCA pour les variables environnementales>
-#Exécuter la PCA
-env.pca<-rda(env.z) # ou rda(env, scale=TRUE)
-#Extraction des résultats
+<file rsplus| graphique intercepte aléatoire>
-summary(env.pca)
+plot(gamm_intercept, select=2)
-summary(env.pca, scaling=2)
+# select=2 parce que le terme aléatoire se trouve sur la 2e ligne du tableau sommaire.
-</code>
+</file>
-«Scaling» réfère à quelle portion de la PCA est redimensionnée aux valeurs propres. Scaling = 2 signifie que les scores des espèces sont mises à l'échelle des valeurs propres, alors que scaling = 1 signifie que les scores des sites sont mises à l'échelle des valeurs propres. Scaling = 3 signifie qu'à la fois les scores des espèces et des sites sont mis symétriquement à l'échelle de la racine carrée des valeurs propres. En scaling = 1,les distances euclidiennes entre les sites (lignes de la matrice de données) sont conservées tandis qu'en scaling = 2 les corrélations entre espèces (les colonnes de la matrice de données) sont conservées. Cela implique que lorsque vous regardez un biplot de PCA en Scaling = 2, l'angle entre les descripteurs représente leur corrélation.
+Une fonction de traçage vraiment intéressante que nous allons maintenant utiliser est le ''plot_smooth'' de la librairie //itsadug//. Contrairement au graphique par défaut ''plot.gam'', cette fonction présente l'effet additionné du GAMM avec l'option de ne pas inclure les courbes aléatoires dans le graphique. Ici, nous allons premièrement tracer l'effet combiné de x0 (sans les niveaux de l'effet aléatoire) et ensuite une courbe pour les quatre niveaux de //fac//:
-<code rsplus | Axes significatifs>
+<file rsplus | Graphique des 4 niveaux du facteur fac>
-ev<-env.pca$CA$eig
+par(mfrow=c(1,2), cex=1.1)
-ev[ev>mean(ev)]
+plot_smooth(gamm_intercept, view="x0", rm.ranef=TRUE, main="intercept + s(x1)", rug=FALSE)
-n<-length(ev)
+plot_smooth(gamm_intercept, view="x0", cond=list(fac="1"),
-bsm<-data.frame(j=seq(1:n), p=0)
+            main="... + s(fac)", col='orange', ylim=c(8,21), rug=FALSE)
-bsm$p[1]=1/n
+plot_smooth(gamm_intercept, view="x0", cond=list(fac="2"), add=TRUE, col='red')
-for (i in 2:n) {
+plot_smooth(gamm_intercept, view="x0", cond=list(fac="3"), add=TRUE, col='purple')
-  bsm$p[i]=bsm$p[i-1]+(1/(n=1-i))}
+plot_smooth(gamm_intercept, view="x0", cond=list(fac="4"), add=TRUE, col='turquoise')
-bsm$p=100*bsm$p/n
+</file>
-bsm
-barplot(ev, main="valeurs propres", col="grey", las=2)
-abline(h=mean(ev), col="red")
-legend("topright", "moyenne des valeurs propres", lwd=1, col=2, bty="n")
-</code>
-Comparer cet histogramme de valeurs propres avec celui que vous avez créé pour la PCA sur les abondances d'espèces.
-Bien que beaucoup d'informations puissent être extraites d'une PCA par la fonction summary de la PCA, l'interpétation et la communication des résultats est souvent facilitée en traçant un biplot. Sur un biplot de PCA, l'axe des x correspond à la première composante principale et l'axe des y à la deuxième composante principale.
+{{::graphic5.3.jpg?650|}}
-La fonction plot () permet de tracer des biplot sur lequels les sites figurent en chiffres noirs et les espèces sont représentées en rouge. Le biplot de la  //PCA des abondances d'espèces// peut être appelé comme suit:
+Ensuite, nous allons générer et tracer un modèle avec une pente aléatoire :
-<code rsplus | Graphique PCA des abondances d'espèces >
-plot(spe.h.pca)
-</code>
-{{:spe_PCA1.png?800|}}
+<file rsplus | pente aléatoire >
+gamm_slope <- gam(y ~ s(x0) + s(x0, fac, bs="re"), data=gam_data2)
+summary(gamm_slope)
-La construction de biplots de PCA s'articule en trois étapes:
+plot_smooth(gamm_slope, view="x0", rm.ranef=TRUE, main="intercept + s(x0)", rug=FALSE)
-<code rsplus | Biplot de PCA>
+plot_smooth(gamm_slope, view="x0", cond=list(fac="1"),
-plot(spe.h.pca, type=”n”) # Produit une figure vierge
+            main="... + s(fac)", col='orange',ylim=c(7,22), rug=FALSE)
-points(spe.h.pca, dis=”sp”, col=”blue”) # ajoute les points correspondant aux espèces
+plot_smooth(gamm_slope, view="x0", cond=list(fac="2"), add=TRUE, col='red')
-#utilizer text() plutôt que points() si vous préférez que les codes des espèces s'affichent (nom des colonnes)
+plot_smooth(gamm_slope, view="x0", cond=list(fac="3"), add=TRUE, col='purple')
-points(spe.h.pca, dis=”sites”, col=”red”) # ajoute les points correspondant aux sites
+plot_smooth(gamm_slope, view="x0", cond=list(fac="4"), add=TRUE, col='turquoise')
-</code>
+</file>
-{{:spe_PCA2.png?800|}}
+{{::graphic5.4.jpg?650|}}
-Pour créer de plus beaux biplots, essayez ce code:
+Nous allons maintenant inclure à la fois un intercepte et une pente aléatoires.
-<code rsplus | Graphique PCA des abondances d'espèces v.2>
-#Scaling 1
-windows()
-plot(spe.h.pca)
-windows()
-biplot(spe.h.pca)
-windows()
-# scaling 1 = distance biplot :
-# distances entre les objets est une approximation de leur distance euclidienne
-# les angles entre les descripteurs ne réflètent PAS leur corrélation
-plot(spe.h.pca, scaling=1, type="none",
-     xlab<-c("PC1 (%)", round((spe.h.pca$CA$eig[1]/sum(spe.h.pca$CA$eig))*100,2)),
-     ylab<-c("PC2 (%)", round((spe.h.pca$CA$eig[2]/sum(spe.h.pca$CA$eig))*100,2)))
-points(scores(spe.h.pca, display="sites", choices=c(1,2), scaling=1),
-       pch=21, col="black", bg="steelblue", cex=1.2)
-text(scores(spe.h.pca, display="species", choices=c(1), scaling=1),
-     scores(spe.h.pca, display="species", choices=c(2), scaling=1),
-     labels=rownames(scores(spe.h.pca, display="species", scaling=1)),
-     col="red", cex=0.8)
-</code>
-Le code ci-dessus a produit trois biplots mais le dernier est le plus attrayant :
+<file rsplus| Intercepte et pente aléatoires >
-{{:spe_PCA3.png?800|}}
+gamm_int_slope <- gam(y ~ s(x0) + s(fac, bs="re")
+                      + s(fac, x0, bs="re"), data=gam_data2)
+summary(gamm_int_slope)
-Sur ce graphique, les sites scores sont indiqués par des points bleus et les noms d'espèces sont en rouge. Il est également possible de représenter les sites par leurs noms.
+plot_smooth(gamm_int_slope, view="x0", rm.ranef=TRUE, main="intercept + s(x0)", rug=FALSE)
+plot_smooth(gamm_int_slope, view="x0", cond=list(fac="1"),
+            main="... + s(fac) + s(fac, x0)", col='orange', ylim=c(7,22), rug=FALSE)
+plot_smooth(gamm_int_slope, view="x0", cond=list(fac="2"), add=TRUE, col='red', xpd=TRUE)
+plot_smooth(gamm_int_slope, view="x0", cond=list(fac="3"), add=TRUE, col='purple', xpd=TRUE)
+plot_smooth(gamm_int_slope, view="x0", cond=list(fac="4"), add=TRUE, col='turquoise', xpd=TRUE)
+</file>
-Comment interpréter ce type de graphique ?
+{{::graphic5.5.jpg?650|}}
-Ce biplot permet d'observer qu'il existe certains groupes de sites homogènes du point de vue de la composition de leur communautés de poissons. On y voit également que l'espèce «ABL» n'a pas la même prévalence dans la majorité des sites que les autres espèces plus proches du centre du graphique.
-Les biplots ne doivent pas seulement être interprétés en termes de proximité, mais également d'angles. Deux variables séparées d'un angle de 90 degrés ne sont pas corrélées. Deux variables très rapprochés sont fortement corrélées. Deux variables aux directions opposées sont corrélées négativement.
+Notez que les pentes aléatoires sont statique :
-Maintenant regardons le biplot de la //PCA environnement//:
+<file rsplus| graphique des pentes aléatoires>
-<code rsplus | Graphique PCA des variables environnementales>
+plot(gamm_int_slope, select=3)
-#Scaling 2
+# select=3 parce que la pente aléatoire se trouve sur la 3e ligne du tableau sommaire.
-windows()
+</file>
-plot(env.pca)
-windows()
-# scaling 2 = graphique de corrélations :
-# les distances entre les objets ne sont PAS des approximations de leur distance euclidienne
-# les angles entres les descripteurs reflètent leur corrélation
-plot(env.pca, scaling=2, type="none",
-     xlab<-c("PC1 (%)", round((env.pca$CA$eig[1]/sum(env.pca$CA$eig))*100,2)),
-     ylab<-c("PC2 (%)", round((env.pca$CA$eig[2]/sum(env.pca$CA$eig))*100,2)),
-     xlim<-c(-1,1), ylim=c(-1,1))
-points(scores(env.pca, display="sites", choices=c(1,2), scaling=2),
-       pch=21, col="black", bg="darkgreen", cex=1.2)
-text(scores(env.pca, display="species", choices=c(1), scaling=2),
-     scores(env.pca, display="species", choices=c(2), scaling=2),
-     labels<-rownames(scores(env.pca, display="species", scaling=2)),
-     col="red", cex=0.8)
-</code>
-{{:env_PCA1.png?800|}}
+Enfin, nous allons examiner un modèle avec une surface lisse aléatoire.
-Rappelez-vous qu'un biplot de PCA est en fait un nuage de points dans lequel les axes sont des combinaisons linéaires des variables d'origine. Il existe donc beaucoup de façons différentes de tracer un biplot. Par exemple, vous pouvez utiliser la fonction ggplot () et les compétences acquises de l'atelier 4 pour tracer votre graphique d'ordination dans ggplot.
+<file rsplus| Surface lisse aléatoire >
+gamm_smooth <- gam(y ~ s(x0) + s(x0, fac, bs="fs", m=1), data=gam_data2)
+summary(gamm_smooth)
+</file>
+Ici, si les pentes aléatoires variaient selon x0, nous auront vue des courbe variable pour chaque niveau :
-**Utilisation des axes de PCA comme variable explicative composite**
+<file rsplus| graphiques des fonctions aléatoires>
+plot(gamm_smooth, select=1)
+# select=1 parce que le terme se trouve sur la 1e ligne du tableau sommaire.
+</file>
-Dans certains cas, l'utilisateur cherche à réduire un grand nombre de variables environnementales en un plus faible nombre de variables composites. Lorsque les axes de PCA représentent des gradients écologiques (i.e. lorsue les variables environnementales sont corrélées de façon cohérente avec les axes de PCA), l'utlisateur peut utiliser les scores des sites le long axes de PCA dans de nouvelles analyses (au lieu d'utiliser les variables environnementales brutes). En d'autres termes, étant donné que les scores des sites le long des axes de PCA représentent des combinaisons linéaires des descripteurs, ils peuvent être utilisés comme proxy des conditions écologiques dans de nouvelles analyses.
+Finalement, tous ces modèles mixes peuvent être compare en utilisant la fonction anova() pour trouver le meilleur modèle.
-Dans l'exemple ci-dessus, le premier axe de PCA peut être identifié comme un gradient écologique allant des sites oligotrophes riches en oxygène aux sites eutrophes pauvres en oxygène: de gauche à droite, le premier groupe de sites montrent les plus hautes altitudes (alt) et pente (slope), et les plus faibles débit (deb) et distance à la source (das). Le second groupe de sites possède les plus hautes valeurs de concentration en oxygène (oxy) et les plus faibles concentrations en nitrates (nit). Un troisième groupe de sites montrent des valeurs intermédiaire pour l'ensemble de ces variables.
+===== 6. Autres distributions =====
-Dans ce cas, si l'objectif est d'identifier si une espèce particulière est associée au gradient oligotrophe-eutrophe, il est possible de corréler l'abondance de cette espèce aux scores des sites le long du premier axe de PCA. Par exemple, si l'utilisateur veut identifier si l'espèce TRU est associée à des eaux oligotrophes ou eutrophes, il lui est possible d’utiliser le modèle linéaire suivant:
+Pour vous donner un bref aperçu de l'utilisation des GAMs lorsque la variable réponse ne suit pas une distribution normale ou que les données sont des abondances ou proportions (par exemple, distribution Gamma, binomiale, Poisson, binomiale négative), l'exemple qui suit utilise un ensemble de données où une répartition binomiale sera nécessaire, y compris une modélisation d'une relation non linéaire. La variable réponse représente le nombre de succès (l'événement a eu lieu) en fonction des défaillances au cours d'une expérience.
-<code rsplus | Graphique PCA des variables environnementales>
+<file rsplus| Loading the data>
-Sites_scores_Env_Axis1<- scores(env.pca, display="sites", choices=c(1), scaling=2)
+gam_data3 <- read.csv("other_dist.csv")
-spe$ANG
+summary(gam_data3)
-plot( Sites_scores_Env_Axis1, spe$TRU)
+str(gam_data3)
-summary(lm(spe$TRU~Sites_scores_Env_Axis1))
+</file>
-abline(lm(spe$TRU~Sites_scores_Env_Axis1))
-</code>
-Ce modèle simple montre que l'abondance de l'espèce TRU est significativement liée aux scores des sites le long du premier axe de PCA (t = -5.30, p = 1.35e-05, adj-R2 = 49.22%), c’est-à-dire qu'elle dépend d'un gradient oligotrophe-eutrophe. dans ce cas l'espèce TRU préfère donc les eaux oligotrophes.
+  'data.frame':	514 obs. of  4 variables:
+   $ prop : num  1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ...
+   $ total: int  4 20 20 18 18 18 20 20 20 20 ...
+   $ x1   : int  550 650 750 850 950 650 750 850 950 550 ...
+   $ fac  : Factor w/ 4 levels "f1","f2","f3",..: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
-**Défi 3**
+''prop'' est la variable réponse, égal à la proportion de //succès / (succès + échecs)//. Notez qu'il existe de nombreux cas où la proportion est égal à 1 ou 0 qui indique que les résultats ont toujours été des succès ou des échecs, respectivement, à ce moment mesuré durant l'expérience.\\
-Exécuter une PCA sur l'abondance des espèces de mites. Quels sont les axes significatifs ? Quels sont groupes de sites pouvez-vous identifier? Quelles espèces sont liées à chaque groupe de sites?
+''x1'' est le temps écoulé depuis le début de l'expérience (variable explicative).\\
-<code rsplus | Données mites>
+''total'' représente le nombre de //succès + échecs// observé au moment x1i de l'expérience.\\
-mite.spe<-data(mite) # données disponibles dans vegan
+''fac'' est un facteur qui code pour l'essai 1 à 4 de l'expérience (nous n'utiliserons pas cette variable dans cette section).
-</code>
-**Défi - Solution**
+Commençons par la visualisation des données. Nous sommes intéressés par le nombre de succès par rapport aux échecs à mesure que x1 augmente. Étant donné qu'il y a des mesures répétées pour la valeur de x1 (essais 1 à 4, avec nombreuses observations par essai), nous pouvons d'abord présenter la proportion de succès en moyenne par boîte de temps (x1):
-<hidden>
-Votre code ressemble certainement à celui-ci:
-<code rsplus | Mite PCA>
-# Transformation de Hellinger
+<file rsplus| Visualisation des données>
-mite.spe.hel<-decostand(mite.spe, method="hellinger")
+emptyPlot(range(gam_data3$x1), c(0,1), h=.5,
-mite.spe.h.pca<-rda(mite.spe.hel)
+          main="Probability of successes", ylab="Probability",xlab="x1")
-# Quels sont les axes significatifs?
-ev<-mite.spe.h.pca$CA$eig
-ev[ev>mean(ev)]
-n<-length(ev)
-bsm<-data.frame(j=seq(1:n), p=0)
-bsm$p[1]=1/n
-for (i in 2:n) {
-  bsm$p[i]=bsm$p[i-1]+(1/(n=1-i))}
-bsm$p=100*bsm$p/n
-bsm
-barplot(ev, main="Valeurs propres", col="grey", las=2)
-abline(h=mean(ev), col="red")
-legend("topright", "Moyenne des valeurs propres", lwd=1, col=2, bty="n")
-# Résultats
+avg <- aggregate(prop ~ x1, data=gam_data3, mean, na.rm=TRUE)
-summary(mite.spe.h.pca, display=NULL)
+lines(avg$x1, avg$prop, col="orange",lwd=2)
-windows()
+</file>
-# Représentation graphique de la PCA
+{{::graphic1_otherdist.jpg?450|}}
-plot(mite.spe.h.pca, scaling=1, type="none",
-     xlab=c("PC1 (%)", round((mite.spe.h.pca$CA$eig[1]/sum(mite.spe.h.pca$CA$eig))*100,2)),
-     ylab=c("PC2 (%)", round((mite.spe.h.pca$CA$eig[2]/sum(mite.spe.h.pca$CA$eig))*100,2)))
-points(scores(mite.spe.h.pca, display="sites", choices=c(1,2), scaling=1),
-       pch=21, col="black", bg="steelblue", cex=1.2)
-text(scores(mite.spe.h.pca, display="species", choices=c(1), scaling=1),
-     scores(mite.spe.h.pca, display="species", choices=c(2), scaling=1),
-     labels=rownames(scores(mite.spe.h.pca, display="species", scaling=1)),
-     col="red", cex=0.8)
-</code>
-Votre graphique ressemblera à ceci.
+Notez comment la probabilité de succès augmente avec x1. D'après vous, est-ce que cette tendance est linéaire ou non linéaire? Nous allons tester cela en utilisant un GAM logistique (nous utilisons une distribution ''binomiale'' puisque la variable réponse représente des proportions).
-{{:mite_pca.png?800|}}
-Bien que les sites soient tous de composition semblable (aucun groupe distinct de sites n'apparait sur le biplot), certaines espèces semblent souvent être présentes ensemble, par exemple Spec 01, Spec 10, Spec 14 et Spec 15.
+<file rsplus| GAM logistique>
-</hidden>
+prop_model <- gam(prop~ s(x1), data=gam_data3, weights=total, family="binomial")
+prop_summary <- summary(prop_model)
+print(prop_summary$p.table)
+print(prop_summary$s.table)
-=====3.2. Analyse des Correpondances (Correspondence Analysis, CA)=====
+plot(prop_model)
+</file>
-L'une des hypothèses clefs de la PCA postule que les espèces sont liées les unes aux autres de façon linéaire, et qu'elles répondent de façon linéaire aux gradients écologiques. Ce n'est cependant pas nécessairement le cas dans les données écologiques (e.g. beaucoup d'espèces montrent en effet un distribution unimodale le long des gradients environnementaux). Utiliser une PCA avec des données contenant des espèces à distribution unimodale, ou un grand nombre de zéros (absence des espèces), peut conduire à un phénomène statistique appelé "horseshoe effect" (ou effet fer à cheval) se produisant le long de gradients écologiques. Dans de tels cas, l'Analyse des Correspondances (CA) permet de mieux représenter les données (voir Legendre et Legendre pour plus d'informations). Comme la CA préserve les distances de Chi2 entre objets (tandis que la PCA préserve les distances euclidiennes), cette technique est, en effet, plus appropriée pour ordonner les jeux de données contenant des espèces à distribution unimodale, et a, pendant longtemps, était l'une des techniques les plus employées pour analyser les données d'absence-présence ou d'abondances d'espèces. Lors d'une CA, les données brutes sont d'abord transformées en une matrice Q des contributions cellule-par-cellule à la statistique Chi2 de Pearson, puis la matrice résultante est soumise à une décomposition en valeurs singulières afin de calculer les valeurs propres et vecteurs propres de l'ordination.
+               Estimate  Std. Error  z value   Pr(>|z|)
+  (Intercept)  1.173978  0.02709613  43.32641  0
-Le résultat d'une CA représente donc une ordination dans laquelle les distances de Chi2 entre objets sont préservées (au lieu de la distance euclidienne dans une PCA), le distance de Chi2 n'étant pas influencée par la présence de double-zéros. Ainsi, la CA constitue une méthode d’ordination puissante pour l'analyse des abondances brutes d'espèces (i.e. sans pré-transformation). Contrairement à la PCA, la CA peut être appliquée sur des données quantitatives ou binaires (telles que des abondance ou absence-présence d'espèces). Comme dans une PCA, le critère de Kaiser-Guttman peut être utilisé pour identifier les axes significatifs d'une CA, et les scores des objets le long des axes d'ordination peuvent être extraits pour être utlisés dans des régressions multiples par exemple.
+          edf       Ref.df    Chi.sq     p-value
+  s(x1)   4.591542  5.615235  798.9407   2.027751e-164
-Exécuter une CA sur les données d'abondance d'espèces:
-<code rsplus | CA par cca() de vegan>
+Qu'est-ce que l'ordonnée représente dans ce modèle?
-#Effectuer une CA à l'aide de la fonction cca() (NB: cca() est utilisée à la fois pour les CA et CCA)
+  * Rappel : le modèle utilise le nombre de succès vs échecs pour calculer le //logit//, qui est le logarithme du rapport entre les succès et échecs:
-spe.ca <- cca(spe)
-# Identifier les axes significatifs
-ev<-spe.ca$CA$eig
-ev[ev>mean(ev)]
-n=length(ev)
-barplot(ev, main="Eigenvalues", col="grey", las=2)
-abline(h=mean(ev), col="red")
-legend("topright", "Average eigenvalue", lwd=1, col=2, bty="n")
-</code>
-{{ :ca_guttmankaiser.png |}}
+<m> logit = log({N_{success}/N_{failures}}) </m>
-D’après cet histogramme, à partir du sixième axe d’ordination CA6, la proportion de variance expliquée diminue sous la proportion moyenne expliquée par l'ensemble des axes. La sortie R de la CA ci-dessous montre également que les cinq premiers axes d'ordination explique une proportion cumulée de variance expliquée de 84.63%.
+- Si succès = échecs, le rapport est de 1 et le logit est 0 (log (1) = 0).\\
+- Si les succès ont un nombre plus grand que les échecs, le ratio est supérieur à 1 et le logit a une valeur positive (par exemple, log(2) = 0,69).\\
+- Si les succès ont un nombre plus petit que les échecs, le ratio est inférieur à 1 et le logit a une valeur négative (par exemple, log(0,5) = -0.69).\\
-<code rsplus | Extraire les résultats d'une CA>
+Donc, l'ordonnée est le //logit//, et indique s'il y a en moyenne plus de succès que d'échecs. Ici, l'estimé est positif ce qui signifie, qu'en moyenne, il n'y a plus de succès que d'échecs.
-summary(spe.h.pca)
-summary(spe.h.pca, diplay=NULL)
-</code>
-{{ :ca_summary.png |}}
+Qu'est-ce que le terme de lissage indique?
+  * Ceci représente la façon dont les chances de succès vs échecs changent sur l'échelle de x1 (l'échelle du temps dans cet exemple). Donc, puisque l'edf > 1, la proportion de succès augmente plus rapidement au fil du temps (si par exemple, la réponse représente le nombre d'individus de l'espèce A vs l'espèce B et que nous augmentons la concentration des nutriments au fil du temps, ces résultats indiqueront que l'espèce A est de plus en plus observée alors que les concentrations de nutriments approchent de l'optimum de cette espèce au cours de l'expérience).
-Les résultats d'une CA sont présentés sous R de la même façon que ceux d'une PCA. On y observe que le premier axe CA1 explique 51.50% de la variation de l'abondance des espèces tandis que le second axe CA2 explique 12.37% de la variation.
+=== Visualiser la tendance au fil du temps ===
-<code rsplus | Construction des biplots>
+Enfin, nous allons voir les différentes façons de représenter ces relations graphiquement.
+<file rsplus| Tracer la tendance>
 par(mfrow=c(1,2))
-#### scaling 1
+plot(prop_model, select=1, scale=0, shade=TRUE)
-plot(spe.ca, scaling=1, type="none", main='CA - biplot scaling 1', xlab=c("CA1 (%)", round((spe.ca$CA$eig[1]/sum(spe.ca$CA$eig))*100,2)),
+abline(h=0)
-ylab=c("CA2 (%)", round((spe.ca$CA$eig[2]/sum(spe.ca$CA$eig))*100,2)))
-points(scores(spe.ca, display="sites", choices=c(1,2), scaling=1), pch=21, col="black", bg="steelblue", cex=1.2)
+plot_smooth(prop_model, view="x1",main="")
+(diff <- find_difference(out$fv$fit, out$fv$CI, xVals=out$fv$x1))
+addInterval(0, lowVals=diff$start, highVals = diff$end, col='red', lwd=2)
+abline(v=c(diff$start, diff$end), lty=3, col='red')
+text(mean(c(diff$start, diff$end)), 2.1, "sign. more \n success", col='red', font=3)
+</file>
-text(scores(spe.ca, display="species", choices=c(1), scaling=1),
+{{::graphic2_otherdist.jpg?800|}}
-     scores(spe.ca, display="species", choices=c(2), scaling=1),
-     labels=rownames(scores(spe.ca, display="species", scaling=1)),col="red", cex=0.8)
-#### scaling 2
+Quels renseignements ces graphiques nous apportent-ils vis à vis les succès et échecs ?
-plot(spe.ca, scaling=1, type="none", main='CA - biplot scaling 2', xlab=c("CA1 (%)", round((spe.ca$CA$eig[1]/sum(spe.ca$CA$eig))*100,2)),
+  * **graphique de gauche**: contribution (ou effet partiel si nous avions plus qu'une variable explicative) au fil du temps. La valeur logit augmente, donc les succès augmentent et les échecs diminuent.
-     ylab=c("CA2 (%)", round((spe.ca$CA$eig[2]/sum(spe.ca$CA$eig))*100,2)), ylim=c(-2,3))
+  * **graphique de droite**: valeurs ajustées, ordonnée incluse (somme des effets si nous avions plus d'une variable explicative dans le modèle). Nous voyons ici que la valeur logit est estimée près de zéro au début de l'expérience ; cela signifie qu'il y a des quantités égales de succès et d'échecs. Peu à peu, les succès augmentent et à environ x1=400 il y a beaucoup plus de succès que d'échecs (l'effet est significativement différent de zéro). Nous avons également montré comment nous pouvons utiliser le graphique pour déterminer à quelle valeur de x1 cela se produit.
-points(scores(spe.ca, display="sites", choices=c(1,2), scaling=2), pch=21, col="black", bg="steelblue", cex=1.2)
+Enfin, pour nous aider à interpréter les résultats, nous pouvons re-transformer l'effet sur une échelle de proportions avec la fonction ''plot_smooth'' de la librairie //itsadug//:
-text(scores(spe.ca, display="species", choices=c(1), scaling=2),
-     scores(spe.ca, display="species", choices=c(2), scaling=2),
-     labels=rownames(scores(spe.ca, display="species", scaling=2)),col="red", cex=0.8)
-</code>
-{{ :ca_biplot.png |}}
+<file rsplus| Graphique transformé>
+par(mfrow=c(1,1))
+plot_smooth(prop_model, view="x1", main="",
+            transform=plogis, ylim=c(0,1))
+abline(h=.5, v=diff$start, col='red', lty=2)
+</file>
-Ces biplots montrent qu'un groupe de sites (à gauche) possède des communautés similaires de poissons caractérisées par de nombreuses espèces dont GAR, TAN, PER, ROT, PSO et CAR; dans le coin supérieur droit, un second groupe de sites se caractérisent par les espèces LOC, VAI et TRU; le dernier groupe de sites dans le coin inférieur droit montrent des communautés abondantes en BLA, CHA et OMB.
+{{::graphic3_otherdist.jpg?450|}}
-**Défi 4**
+Comme nous l'avons déjà vu avec le graphique précédent des valeurs logits, nous voyons qu'à approximativement x1=400 la proportion de succès augmente de façon significative au-dessus de 0,5.
-Exécuter une CA sur les données d'abondance des //espèces d'acariens// (données mite). Quels sont les axes importants? Quels groupes de sites pouvez-vous identifier? Quelles espèces sont liées à chaque groupe de sites?
-**Défi 4 - Solution**
-<hidden>
-Votre code devrait s'apparenter à celui-ci:
-<code rsplus | CA sur les données mite>
+===== 7. Les GAMs en coulisse ======
-# CA
-mite.spe.ca<-cca(mite.spe)
-# Quels sont les axes importants?
+Nous allons maintenant prendre quelques minutes pour regarder comment fonctionnent les GAMs. Commençons en considérant d'abord un modèle qui contient une fonction lisse d'une covariable, x<sub>i</sub> :
-ev<-mite.spe.ca$CA$eig
-ev[ev>mean(ev)]
-n=length(ev)
-barplot(ev, main="Eigenvalues", col="grey", las=2)
-abline(h=mean(ev), col="red")
-legend("topright", "Average eigenvalue", lwd=1, col=2, bty="n")
-# Résultats
+<m>{y_i} = f(x_{i}) + {ε_i}</m>
-summary(mite.spe.ca, display=NULL)
-# Biplot
+Pour estimer la fonction //f//, nous avons besoin de représenter l'équation ci-dessus de manière à ce qu'elle devienne un modèle linéaire. Cela peut être fait en choisissant une base, b<sub>i</sub>(x), définissant l'espace des fonctions dont //f// est un élément:
-windows()
-plot(mite.spe.ca, scaling=1, type="none",
-     xlab=c("PC1 (%)", round((mite.spe.ca$CA$eig[1]/sum(mite.spe.ca$CA$eig))*100,2)),
-     ylab=c("PC2 (%)", round((mite.spe.ca$CA$eig[2]/sum(mite.spe.ca$CA$eig))*100,2)))
-points(scores(mite.spe.ca, display="sites", choices=c(1,2), scaling=1),
-       pch=21, col="black", bg="steelblue", cex=1.2)
-text(scores(mite.spe.ca, display="species", choices=c(1), scaling=1),
-     scores(mite.spe.ca, display="species", choices=c(2), scaling=1),
-     labels=rownames(scores(mite.spe.ca, display="species", scaling=1)),
-     col="red", cex=0.8)
-</code>
-Et votre biplot devrait ressembler à celui-ci:
+<m>f(x) = sum{i=1}{q}{b_{i}(x)β_{i}}</m>
-{{ :ca_mite_biplot.png |}}
+**Un exemple simple : une base polynomiale**
-</hidden>
+Supposons que //f// est considéré comme un polynôme d'ordre 4, de sorte que l'espace des polynômes d'ordre 4 et moins contiennent //f//. Une base de cet espace serait alors :
-=====3.3 Analyse en coordonnées principales (Principal Coordinates Analysis, PCoA)=====
+<m>b_{1}(x)=1,   b_{2}(x)=x,   b_{3}(x)=x^{2},   b_{4}(x)=x^{3},   b_{5}(x)=x^{4}</m>
-La PCA, comme la CA, impose une préservation des distances entre objets: la distance euclidienne dans le cas de la PCA, et la distance de Chi2 dans la CA. Si l'objectif est d'ordonner les objets sur la base d'une autre mesure de distance plus appropriée au problème, la PCoA constitue une technique de choix. Dans une PCA, les données sont pivotées de façon à ce que la première composante principale (correspondant à une combinaison linéaire des descripteurs) explique la plus forte proportion de variation possible; la contribution de chaque descripteur (espèces ou variables environnementales) à chaque composante principale peut alors être évaluée d'après son score.
+et f(x) devient:
-La PCoA est une seconde méthode d'ordination sans contrainte dans laquelle les points sont ajoutés les uns après les autres à l'espace d'ordination en utilisant la distance euclidienne //ou n'importe quelle mesure de distance (dissimilarité) métrique vous choisissez//. Un premier point est ainsi placé dans l'espèce d'ordination, puis un second point placé à la valeur de distance du premier, puis un troisième et ainsi de suite en ajoutant autant d'axes (de dimensions) que nécessaire.
-Il est parfois difficile de choisir entre effectuer une PCA ou une PCoA. La PCA permet toutefois de réduire des données multivariables en un faible nombre de dimensions tandis que la PCoA est utile pour visualiser les distances entre sites (ou objets). La PCoA est aussi particulièrement adaptées pour les jeux de données présentant plus de colonnes que de lignes. Par exemple, si des centaines d'espèces ont été observées dans un petit nombree de quadrats, une approche basée sur une PCoA utilisant la distance de Bray-Curtis (voir ci-dessous) peut être plus adaptée.
-PCoA avec DoubsSpe (transformé Hellinger):
+<m>f(x) = β_{1} + x_{i}β_{2} +  x^{2}_{i}β_{3} + x^{3}_{i}β_{4}(x) + x^{4}_{i}β_{5}</m>
-<code rsplus | PCoA>
-# En utilisant la fonction cmdscale()
-?cmdscale
-cmdscale(dist(spe.hel), k=(nrow(spe)-1), eig=TRUE)
-# En utilisant la fonction pcoa()
+et le modèle complet devient:
-?pcoa
-spe.h.pcoa<-pcoa(dist(spe.hel))
-# Extraction des résultats
+<m>y_{i} = β_{1} + x_{i}β_{2} +  x^{2}_{i}β_{3} + x^{3}_{i}β_{4}(x) + x^{4}_{i}β_{5} + ε_{i}</m>
-spe.h.pcoa
-# Représentation graphique
+Chaque fonction de base est multipliée par un paramètre à valeur réelle, β<sub>i</sub>, et est ensuite additionnée pour donner la courbe finale **f(x)**.
-biplot.pcoa(spe .h.pcoa, spe.hel, dir.axis2=-1)
-</code>
-Les résultats de cette PCoA sont:
+{{::polynomial_basis_example.png?600|}}
-{{:pcoa_outputfr_1.png?800|}}
+En faisant varier le coefficient β<sub>i</sub>, on peut faire varier la forme de f(x) pour produire une fonction polynomiale d'ordre 4 ou moins.
-{{:pcoa_outputfr_2.png?800|}}
+**Un autre exemple : une base de spline cubique**
-Et le graphique:
+Un spline cubique est une courbe construite à partir de sections d'un polynôme cubique reliées entre elles de sorte qu'elles sont continues en valeur. Chaque section du spline a des coefficients différents.
-{{:pcoa_spe.png?500|}}
+{{::cubic_spline_fr.png?550|}}
-Vous pouvez aussi exécuter cette PCoA avec une autre mesure de distance (ex. Bray-Curtis):
+Voici une représentation d'une fonction lisse utilisant une base de régression spline cubique de rang 5 avec des nœuds situés à incréments de 0,2:
-<code rsplus | PCoA avec Bray-Curtis>
+{{::graphic6.1.jpg?300|}}
-spe.bray.pcoa<-pcoa(spe.db) # il s'agit de la matrice de distances de Bray-Curtis qu'on a générée plus tôt
-spe.bray.pcoa
-biplot.pcoa(spe.bray.pcoa, spe.hel, dir.axis2=-1)
-# Le choix d'une mesure de distance est très important car ça influence les résultats!
-</code>
-**Défi 5**
+Dans cet exemple, les nœuds sont espacés uniformément à travers la gamme des valeurs observées de x.
-Exécuter une PCoA sur les données d'abondance des //espèces d'acariens// transformées Hellinger (données mite). Quels sont les axes importants? Quels groupes de sites pouvez-vous identifier? Quelles espèces sont liées à chaque groupe de sites? Comment les résultats de cette PCoA se comparent-ils avec ceux de la PCA?
+Le choix du degré de finesse du modèle est pré-déterminé par le nombre de noeuds, qui était arbitraire. Y a-t-il une meilleure façon de sélectionner les emplacements des nœuds?
-**Défi 5 - Solution**
+**Contrôler le degré de lissage avec des splines de régression pénalisés**
-<hidden>
-<code rsplus | PCoA avec les données d'acariens>
-mite.spe.h.pcoa<-pcoa(dist(mite.spe.hel))
-mite.spe.h.pcoa
-windows()
-biplot.pcoa(mite.spe.h.pcoa, mite.spe.hel, dir.axis2=-1)
-</code>
-Représentation graphique:
+Au lieu de contrôler le lissage (non linéarité) en modifiant le nombre de nœuds, nous gardons celle-ci fixée à une taille un peu plus grande que raisonnablement nécessaire et on contrôle le lissage du modèle en ajoutant une pénalité sur le niveau de courbure.
-{{:pcoa_mite.png?500|}}
+Donc, plutôt que d'ajuster le modèle en minimisant (comme avec la méthode des moindres carrés) :
-Les espèces 16 et 31 sont plus éloignées des autres espèces en termes de distance, et donc leur distribution entre les sites est très différente de celle des autres espèces d'acariens. Les sites dont les étiquettes se chevauchent sont de bons exemples de sites à forte similarité en termes de communautés d'acariens.
+<m> ||y - XB||^{2} </m>
-</hidden>
-=====3.4. Positionnement multidimensionnel non-métrique (Nonmetric Multidimensional Scaling, NMDS)=====
+il peut être modélisé en minimisant :
-Les méthodes d'ordination non contrainte présentées ci-dessus permettent d'organiser les objets (e.g. les sites) caractérisés par des descripteurs (e.g. les espèces) dans un espace comprenant l'ensemble des dimensions décrite par l’ellipsoïde représentant le nuage des points de données. En d'autres termes, la PCA, la CA et la PCoA calculent un grand nombre d'axes d'ordination (nombre proportionnel au nombre de descripteurs) représentant la variation des descripteurs entre sites et préservent les distances entre objets (distance euclidienne dans une PCA, distance de Chi2 dans une CA et distance définie par l'utilisateur dans une PCoA). L'utilisateur peut ensuite sélectionné les axes d'intérêt (généralement les deux premiers axes d'ordination) pour représenter les objets dans un biplot. Le biplot produit représente ainsi correctement les distances entre objets (e.g. la similarité des sites), mais ne permet pas de représenter l'ensemble des dimensions de la variation de l'espace d'ordinations (étant donnée que l'Axe 3, l'Axe 4,..., l'Axe n n'apparaissent pas sur le biplot, mais contribuent tout de même à expliquer la variation entre objets).
+<m> ||y - XB||^{2} + {lambda}int{0}{1}{[f^{''}(x)]^{2}dx} </m>
-Dans certains cas, la priorité n'est pas de préserver la distance exacte entre objets, mais au contraire de représenter aussi fidèlement que possible les relations entre objets selon un petit nombre d'axe (généralement deux ou trois) spécifié par l'utilisateur. Dans de tels cas, le positionnement multidimensionnel non-métrique (NMDS) est la solution. Si l'utilisateur définit un nombre d'axe égal à deux, le biplot produit par le NMDS correspond à la meilleure solution graphique pour représenter en deux dimensions la similarité entre objets (les objets dissimilaires étant les plus éloignées, et les objets similaires étant les plus proches). De plus, le NMDS permet à l'utilisateur de choisir la mesure de distance qu'il souhaite pour ordonner les objets.
+Quant <m> lambda </m> tend vers <m> infty </m>, le modèle devient linéaire. Pour la sélection du meilleur paramètre de lissage, <m>lambda</m>, on utilise une approche de validation croisée. Si <m>lambda</m> est trop élevé, les données seront trop lissées et si elle est trop faible, les données ne seront pas assez lissées. Idéalement, il serait bon de choisir une valeur <m>lambda</m> de sorte que le //f prédit// est aussi proche que possible du //f observé//. Un critère approprié pourrait être de choisir <m>lambda</m> pour minimiser :
-Afin de trouver la meilleure représentation des objets, le NMDS applique une procédure itérative qui vise à positionner les objets dans le nombre spécifié de dimensions de façon à minimise une fonction de stress (variant de 0 à 1) qui mesure la qualité de l'ajustement de la distance entre objets dans l'espace d'ordination. Ainsi, plus la valeur du stress sera faible, plus la représentation des objets dans l'espace d'ordination sera exacte. Un second moyen d'évaluer l'exactitude d'un NMDS consiste à construire un diagramm de Shepard qui représente les distances entre objets sur le biplot d'ordination en fonction de leurs distances réelles. Le R2 obtenu à partir de la régression entre ces deux types de distance mesure la qualité de l'ajustement du NMDS.
+<m> M = 1/n sum{i=1}{n}{(hat{f_{i}} - f_{i})^{2}} </m>
+Étant donné que //f// est inconnu, M est estimé en utilisant une technique de validation croisée généralisée qui laisse de côté, à chaque tour, une donnée et estime la capacité moyenne des modèles, construits sur les données restantes, de prédire la donnée qui a été mise de côté (pour plus de détails, consultez Wood 2006).
-<code rsplus | NMDS sur les données d’abondance spe avec une distance de Bray-Curtis et k=2 axes d'ordination>
+**Illustration du principe de validation croisée**
-# NMDS
-spe.nmds<-metaMDS(spe, distance='bray', k=2)
-### Extraction des résultats
-spe.nmds
-### Évaluation de la qualité de l'ajustement et construction du diagramme de Shepard
+{{::illustration_of_smooth_sel.png?600|}}
-spe.nmds$stress
-stressplot(spe.nmds, main='Shepard plot')
-# Construction du biplot
+Dans le premier panneau, la courbe correspond à un ajustement faible par rapport aux données et ne fait pas mieux avec le point manquant. Dans le troisième panneau, la courbe ajuste le bruit aussi bien que le signal et la variabilité supplémentaire induite l'amène à prédire la donnée manquante plutôt mal. Dans le deuxième panneau, cependant, nous voyons que l'ajustement de la courbe du signal sous-jacent est très bien, le lissage passe à travers le bruit et la donnée manquante est raisonnablement bien prédite.
-windows()
-plot(spe.nmds, type="none", main=paste('NMDS/Bray - Stress=', round(spe.nmds$stress, 3)),
-     xlab=c("NMDS1"),
-     ylab=c("NMDS2"))
-points(scores(spe.nmds, display="sites", choices=c(1,2)),
-       pch=21, col="black", bg="steelblue", cex=1.2)
-text(scores(spe.nmds, display="species", choices=c(1)),
-     scores(spe.nmds, display="species", choices=c(2)),
-     labels=rownames(scores(spe.nmds, display="species")),
-     col="red", cex=0.8)
-</code>
-{{ :shepard_plot.png |}}
+{{::gcv.png?600|}}
-Le diagramme de Shepard identifie une forte corrélation entre les distances observées et les distances de l'ordination (R2 > 0.95), et donc une bonne qualité de l'ajustement du NMDS.
+**Note supplémentaire sur les degrés de liberté effectifs (edf)**
-{{ :nmds_biplot.png |}}
+Combien de degrés de liberté a un GAM ?
-Le biplot du NMDS identifie un groupe de sites caractérisées par les espèces BLA, TRU, VAI, LOC, CHA et OMB, tandis que les autres espèces caractérisent un groupe de sites situés dans les coin supérieur droit du biplot. Quatre sites situés dans le coin inférieur droit sont fortement différents des autres.
+Au lieu de fournir la sortie de la validation croisée en termes de <m>lambda</m> (un paramètre qui détermine la complexité de l'ajustement), la fonction ''gam()'' utilise un terme appelé les degrés de liberté effectifs (edf), de manière cohérente à quantifier la complexité du modèle (pour justifier notre intuition que les degrés de liberté offrent une manière cohérente de quantifier la complexité du modèle).
+Parce que le nombre de paramètres libres des splines de lissage (tel que les GAMs) est souvent difficile à définir, les edf sont liés à <m>lambda</m>, où l'effet de la pénalité est de réduire les degrés de libertés. Donc, si le nombre de noeuds est arbitrairement réglé à k = 10, k-1 définit la limite supérieure des degrés de libertés associés à un terme de lissage. Ce nombre diminue alors que la pénalité lambda augmente jusqu'à ce que le meilleur modèle soit trouvé par validation croisée.
+===== Références =====
-**Défi 6**
+Il existe beaucoup d'information sur les GAMs...
-Exécuter un NMDS sur les données d'abondance des //espèces d'acariens// (données mite) en deux dimensions à partir de distances de Bray-Curtis. Évaluer la qualité de l'ajustement et interpréter le biplot.
-**Défi 5 - Solution**
+Simon Wood, l'auteur de la librairie //mgcv//, a un site très utile avec des conférences et des notes introductives sur la façon d'utiliser les GAMs :
-<hidden>
+  * http://people.bath.ac.uk/sw283/mgcv/
-<code rsplus>
+Il a aussi écrit un livre, //Generalized Additive Models: An Introduction with R//, que nous avons utilisé comme référence pour cet atelier.
-### NMDS
-mite.spe.nmds<-metaMDS(mite.spe, distance='bray', k=2)
+Le matériel de cet atelier a également été obtenu à partir des blogs et des tutoriels suivants :
+  * http://www.fromthebottomoftheheap.net/blog/
-### Extraction des résultats
+  * http://www.sfs.uni-tuebingen.de/~jvanrij/Tutorial/GAMM.html
-mite.spe.nmds
+  * http://www.sfs.uni-tuebingen.de/~jvanrij/LSA2015/AnswersLab2.html
-### Évaluation de la qualité de l'ajustement
-mite.spe.nmds$stress
-stressplot(mite.spe.nmds, main='Shepard plot')
-### Construction du biplot
-windows()
-plot(mite.spe.nmds, type="none", main=paste('NMDS/Bray - Stress=', round(mite.spe.nmds$stress, 3)),
-     xlab=c("NMDS1"),
-     ylab=c("NMDS2"))
-points(scores(mite.spe.nmds, display="sites", choices=c(1,2)),
-       pch=21, col="black", bg="steelblue", cex=1.2)
-text(scores(mite.spe.nmds, display="species", choices=c(1)),
-     scores(mite.spe.nmds, display="species", choices=c(2)),
-     labels=rownames(scores(mite.spe.nmds, display="species")),
-     col="red", cex=0.8)
-</code>
-{{ :nmds_mite_shepard.png |}}
-La corrélation entre distance observée et distance d'ordination (R2 > 0.91) et la valeur de stress relativement faible identifient une bonne qualité de l'ajustement du NMDS.
-{{ :nmds_mite_biplot.png |}}
-Aucun groupe de sites ne peut être précisément identifié à partir du biplot, ce qui montre que la plupart des espèces sont présentes dans la plupart des sites, i.e. peu de sites présentent des communautés distinctes.
-</hidden>
-=====3.5. En résumé=====
-L’ordination constitue une puissante méthode statistique pour étudier les relations entre objets caractérisés par différents descripteurs (e.g. des sites décrits par leurs communautés biologiques, ou leurs variables environnementales), mais de nombreuse méthodes d'ordination existent. Ces méthodes diffèrent principalement par le type de distance qu'elles préservent, le type de variables qu'elles autorisent, et le nombre de dimensions de l'espace d'ordination. Pour mieux guider votre choix de la méthode d'ordination à utiliser, le tableau ci-dessous identifie les caractéristiques de chacune des quatre méthodes d'ordination présentées lors de cet atelier.
-{{ :resume_ordination.jpg |}}
+Enfin, les pages d'aide, disponibles via ''?gam'' dans R sont une excellente ressource.
-Lors du prochaine atelier, vous verrez comment identifier les relations entre variables environnementales et communautés biologiques décrivant un même ensemble de sites, à l'aide des méthodes d'analyses canoniques.